解题报告：HDU_5656 CA Loves GCD DP

High_EnergyElectron

于 2017-07-24 20:17:59 发布

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分类专栏：数论动态规划文章标签：数学 ACM dp

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动态规划

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定数学问题的方法——计算一组不同整数的所有非空子集的GCD（最大公约数）之和。通过逐步解析算法思路并给出实现代码，帮助读者理解如何高效地解决此类问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题意：

给n个不同的数，求所有非空子集的gcd之和

思路：

dp[ i ] 表示 gcd 为 i 的子集数

每读入一个新的数x，可以如果将x与gcd为i的放在一起会导致gcd(x,i)的方案数增加dp[ i ] 种

如果 i = x，那么还会额外多一种方案（只放x）。

因为较小的gcd(x,i)可能会用到同阶段的较大的 i ，所有操作顺序要从小到大。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

const long long mod = 1e8+7;
using namespace std;
const int N = 1005;
int dp[N];

int main()
{
   int T;
   scanf("%d",&T);
   while(T--){
      memset(dp,0,sizeof(dp));
      int n,x,m = 0;
      scanf("%d",&n);
      while(n--){
         scanf("%d",&x);
         m = max(m,x);
         for(int i=1;i<=m;i++){
            if(i==x)dp[i] = ( ( dp[i]*2 ) + 1 ) % mod;
            else if(dp[i]){
               int j = __gcd(i,x);
               dp[j] = (dp[j] + dp[i]) % mod;
            }
         }
      }long long ans =0;
      for(int i=1;i<=m;i++){
         ans = (ans + 1LL * i * dp[i] % mod)% mod;
      }printf("%I64d\n",ans);
   }return 0;
}