计数类问题

排列组合数

Amn=n!(nm)!Cmn=n!m!(nm)!Cmn=Cm1n1+Cmn1Cmn=Cmn1+Cmn2+...+Cmm=i=mnCmiAnm=n!(n−m)!Cnm=n!m!(n−m)!Cnm=Cn−1m−1+Cn−1mCnm=Cn−1m+Cn−2m+...+Cmm=∑i=mnCim

正(非负)整数解个数

无限制x1+x2+...+xn=mx1+x2+...+xn=m

Cn1m1Cm−1n−1

有下限xi>=Aixi>=Ai,化为yi=xiAi+1>=1yi=xi−Ai+1>=1y1+y2+...+yn=m(Ai1)y1+y2+...+yn=m−∑(Ai−1)
Cn1m(Ai1)1Cm−∑(Ai−1)−1n−1

有上限xi<=Aixi<=Ai,考虑容斥,记个数为S,S=SSxi>=Ai...+Sxi>=Ai,xj>=Aj...S=S全−Sxi>=Ai−...+Sxi>=Ai,xj>=Aj−...
有个锤子公式

xi<=Aixi>=Ai+1m=Aixi<=Ai的补集是xi>=Ai+1,所以m−=Ai就行了

非负整数,xi>=0xi>=0转化为yi=xi+1>=0yi=xi+1>=0y1+y2+...+yn=m+ny1+y2+...+yn=m+n
Cn1m+n1Cm+n−1n−1

路线问题

不经过某条线:反射原理
横纵坐标分离:坐标轴旋转45°

和组合数有关的数论

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