计数类问题

排列组合数

$$A^m_n=\frac {n!}{(n-m)!}\\ C^m_n=\frac {n!}{m!(n-m)!}\\ C^m_n=C^{m-1}_{n-1}+C^m_{n-1}\\ C^m_n=C_{n-1}^m+C_{n-2}^m+...+C_m^m=\sum_{i=m}^nC_i^m$$

正(非负)整数解个数

无限制$x_1+x_2+...+x_n=m$

$$C_{m-1}^{n-1}$$
有下限$x_i>=A_i$，化为$y_i=x_i-A_i+1>=1$，$y_1+y_2+...+y_n=m-\sum (A_i-1)$
$$C_{m-\sum (A_i-1)-1}^{n-1}$$
有上限$x_i<=A_i$，考虑容斥，记个数为S，$S=S_全-S_{x_i>=A_i}-...+S_{x_i>=A_i,x_j>=A_j}-...$
$$有个锤子公式$$
$$x_i<=A_i的补集是x_i>=A_i+1，所以m-=A_i就行了$$
非负整数，$x_i>=0$转化为$y_i=x_i+1>=0$，$y_1+y_2+...+y_n=m+n$
$$C_{m+n-1}^{n-1}$$

路线问题

不经过某条线：反射原理
横纵坐标分离：坐标轴旋转45°

和组合数有关的数论