开关电源设计之:AP法的公式推导
1 前提条件
由变压器基本公式可得下列表
序号 | 说明 |
---|---|
1 | 忽略磁芯的磁阻,全部能量在气隙中 |
2 | 气隙量较大,磁导率 $u_{r} $接近常数,且不触发磁饱和 |
3 | 气隙中磁通密度为均匀分布 |
4 | 气隙中磁场强度HHH |
2 基本磁心公式
根据法拉第电磁感应定律,绕组中感生的磁动势为
e=NdΦdt=LdIdt(1.1)
e=N\frac{dΦ}{dt}=\frac{LdI}{dt} \tag{1.1}
e=NdtdΦ=dtLdI(1.1)
而
Φ=AgBΦ:总磁通
Φ=A_{g}B \\Φ:总磁通
Φ=AgBΦ:总磁通
可得
e=NAgdBdt
e=NA_{g}\frac{dB}{dt}
e=NAgdtdB
设Ag=ApA_{g}=A_{p}Ag=Ap,其中ApA_{p}Ap为磁心柱面积(忽略边缘效应)
根据安培定律有
mmf=∫Hdlg=Hlg=NI(1.2)
mmf=\int Hdl_{g}=H_{lg}=NI \tag{1.2}
mmf=∫Hdlg=Hlg=NI(1.2)
磁场的关系式为:
B=uru0H
B=u_{r}u_{0}H
B=uru0H
而空气的磁导率ur=1u_{r}=1ur=1,因此有
H=Bu0(1.3)
H=\frac{B}{u_{0}} \tag{1.3}
H=u0B(1.3)
联立式1.11.11.1,得
e=Ldidtedt=Ldi
e=L\frac{di}{dt}\\edt=Ldi
e=Ldtdiedt=Ldi
公式两边同时乘以III并积分有
J=∫eIdt=∫LIdi=12LI2(1.4)
J=\int eIdt=\int LIdi=\frac{1}{2}LI^{2}\tag{1.4}
J=∫eIdt=∫LIdi=21LI2(1.4)
由式1.2可得
I=HlgN(1.5)
I=\frac{Hl_{g}}{N}\tag{1.5}
I=NHlg(1.5)
式1.5与1.1相乘可得
EI=NAgdBdtHlgN⟶EIdt=AgLgHdB
EI=NA_{g}\frac{dB}{dt}H\frac{l_{g}}{N} \longrightarrow EIdt=A_{g}L_{g}HdB
EI=NAgdtdBHNlg⟶EIdt=AgLgHdB
两边积分可得
∫EIdt=J=AgLg∫HdB(1.6)
\int EIdt =J = A_{g}L_{g}\int HdB \tag{1.6}
∫EIdt=J=AgLg∫HdB(1.6)
又因为H=Bu0H=\frac{B}{u_{0}}H=u0B,即磁通等于场强乘磁阻有:
J=AgLg∫Bu0dB=AgLgu0∫BdB=12AgLgu0B2
J = A_{g}L_{g}\int \frac{B}{u_{0}}dB =\frac{A_{g}L_{g}}{u_{0}} \int {B}dB=\frac{1}{2}\frac{A_{g}L_{g}}{u_{0}} B^{2}
J=AgLg∫u0BdB=u0AgLg∫BdB=21u0AgLgB2
再次因为H=Bu0H=\frac{B}{u_{0}}H=u0B,可得
J=12AgLgBH(1.7)
J =\frac{1}{2}A_{g}L_{g}BH \tag{1.7}
J=21AgLgBH(1.7)
联立式子1.4与式1.7可得
12LI2=12AgLgBH(1.8)
\frac{1}{2}LI^{2} =\frac{1}{2}A_{g}L_{g}BH \tag{1.8}
21LI2=21AgLgBH(1.8)
又因为式1.2有NI=HIgNI=HI_{g}NI=HIg带入式1.8中可得:
12LI2=12BAgNI⟶LI=BAgN⟶N=LIBAg(1.9)
\frac{1}{2}LI^{2} =\frac{1}{2}BA_{g}NI \longrightarrow LI=BA_{g}N\longrightarrow N=\frac{LI}{BA_{g}}\tag{1.9}
21LI2=21BAgNI⟶LI=BAgN⟶N=BAgLI(1.9)
其中III是峰值电流
现在考虑到绕组:安匝数等于导线中的电流密度IaI_{a}Ia乘以填充系数KuK_{u}Ku修改的有效窗口面积AwA_{w}Aw
NIrms=IaAwKu⟶N=IaAwKuIrms(1.10)
NI_{rms}=I_{a}A_{w}K_{u}\longrightarrow N=\frac{I_{a}A_{w}K_{u}}{I_{rms}} \tag{1.10}
NIrms=IaAwKu⟶N=IrmsIaAwKu(1.10)
3 结论推导(公式部分)
联立式1.9和1.10得:
LIBAg=IaAwKuIrms
\frac{LI}{BA_{g}}=\frac{I_{a}A_{w}K_{u}}{I_{rms}}
BAgLI=IrmsIaAwKu
AP法中AP=AwAgAP=A_{w}A_{g}AP=AwAg为:
AP=AwAg=LIIrms104IaKuB(1.11)
AP=A_{w}A_{g}=\frac{LII_{rms}10^4}{I_{a}K{u}B} \tag{1.11}
AP=AwAg=IaKuBLIIrms104(1.11)
4 结论推导(文字部分)
在连续电流的变压器中,峰值电流幅值III非常接近于有效电流值IrmsI_{rms}Irms,因此有I×Irms≈I2I\times I_{rms} \approx I^2I×Irms≈I2.此外,在大多数应用中,电流密度IaI_{a}Ia、填充系数KuK_{u}Ku和峰值磁通密度BBB被当做常数处理,因此式子(1.11)(1.11)(1.11)可以将AP值与储存的能量联系起来(功率处理能力)。从而将AP值应用到磁芯的选择中。