Trie图（AC自动机）阶段做题小结

最新推荐文章于 2025-06-19 17:50:42 发布

Best丶Wyj

最新推荐文章于 2025-06-19 17:50:42 发布

阅读量428

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：学习总结文章标签： NOIp AC自动机 OI

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_32302351/article/details/84779201

学习总结专栏收录该内容

0 篇文章

订阅专栏

本文深入讲解AC自动机的构建过程及应用，包括模式匹配、利用Fail链预处理、与Trie图性质相关的问题解决，以及在Trie图上的动态规划等。通过具体题目示例，如TJOI2013单词、HNOI2004L语言等，阐述了AC自动机在算法竞赛中的关键作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

AC自动机构建完成后，某个节点沿着Fail链向上能从长到短走到自己的所有后缀。一般的，遍历主串进行匹配，就是在Trie图上定向移动的过程。

构造（一遍 BFS）

void build_AC()
{
	int u=0;
	for(int i=0;i<26;i++)
		if(ch[u][i])q[r++]=ch[u][i];
	while(l<r)
	{
		u=q[l++];
		for(int i=0;i<26;i++)
			if(ch[u][i])
			{
				fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
				flag[ch[u][i]]|=flag[fail[ch[u][i]]];
				q[r++]=ch[u][i];
			}
			else
				ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
	}
}

1、模式匹配

主串从左到右，就顺着每一个字符向下跳，每一次沿着Fail链向上。这样会可重而不漏的得到模式串中的所有子串，视题目要求进行操作即可。

（1）TJOI2013 单词：本人的LJ做法，把所有串建Trie图，再把所有串拿 # 接起来，然后暴力匹配。

2、利用Fail链进行预处理

（1）不可到达（危险）节点标记：一个串的后缀是危险的，它即是危险的

（2）某些统计：到达某个串结尾处相当于匹配了它和它的所有后缀，可以进行一些sigma之类的操作

3、与Trie图性质相关

（SDOI2005 病毒）模拟一个字符串在Trie图上匹配的过程，危险节点不可走。在此基础上找环。

4、AC自动机相关某些题目

（1）HNOI2004 L语言：在模式串结尾记LEN，一边模式匹配一边 DP， F[i]|=F[i-len[j]]

（2）USACO2015 删减：在模式串结尾记LEN，维护一个栈，匹配成功时把栈顶上LEN个元素拿走

（3）JSOI2009：密码：在Trie图上进行记忆化搜索（记录所有串的选取状态）~~输出方案好恶心的~~

5、Trie图上的DP

一般的，设出如下状态：

F[i][j]：做到主串第i个位置，在Trie图上的j点，…… ：做到主串第 i 个位置，在Trie图上的 j 点，……。

转移： $F[i][j] --> F[i+1][k] (k\epsilon Child[j])$ 使用刷表法DP，必要时上矩阵进行优化。

初始状态是 F[0][0] 。

（1）Fzoj DNA修复：不能往危险节点跑，然后直接 $F[0][0]=0,F[i+1][k]=min\left \{ F[i][j]+(S[i+1]!=Choose) \right \}$ 。

（2）Fzoj 匹配：状压， F[i+1][k][S|Flag[k]]+=F[i][j][S] ，Flag事先预处理。

（3）Fzoj 中等的字符串： $F[i+1][k]=max\left \{ F[i][j] +w[k] \right \}$ ，构造矩阵转移，类似求 N 条边最长路。

扔一份暴力DP 的代码：

void dp()
{
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=tot;j++)
			f[i][j]=-inf;
	f[0][0]=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=tot;j++)
			if(f[i][j]>=0)
				for(int x=0;x<26;x++)
				{
					int k=ch[j][x];
					f[i+1][k]=max(f[i+1][k],f[i][j]+num[k]);
				}
}

（4）BJOI2016 打字机：不可做

（5）BJOI2017 魔法咒语：1-6号点暴力做，7-8用转移矩阵，9-10类似 Fib 那样进行转移，挺毒瘤的。

6、Fail树性质（Fail 链自下而上的后缀关系）

一般用于解决与多串相关的子串计数问题。

（1）阿狸的打字机：按题意模拟建 Trie 树，按题意模拟在 Trie 图上跑，走到+1离开-1，用 BIT 维护子树和。

（2）COCI2015 Divljak：先对 Alice 的串建 Trie 图，由 Fail 树性质原问题等价于解决“树链求并”的计数问题，解决方法我是抄题解的：对链的各个底端端点按 dfs 序排序，在各个点处 +1，在相邻两点 LCA 处 -1（想一想为啥）。树剖求 LCA 即可。子树和仍然使用 BIT 维护。