0-1背包问题

最新推荐文章于 2023-03-18 10:30:33 发布

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本文深入探讨了经典的0-1背包问题，介绍了其数学模型、动态规划解法及具体的实现代码，帮助读者理解如何在有限背包容量下，选择物品以达到价值最大化。

0-1背包问题

背包问题（Knapsack Problem)

问题描述：一个旅行者准备随身携带一个背包，可以放入背包的物品有 $n$ 种，物品 $j$ 的重量和价值分别为 $w_j,v_j,j=1,2,…,n$ ，如果背包的最大重量限制是 $b$ ,怎样选择放入背包物品以使得背包的价值最大？

这是一个组合优化问题，设 $x_j$ 表示装入背包的第 $j$ 种物品的数量，那么目标函数与约束条件是:
$\text{目标函数}\space max\sum_{j=1}^nv_jx_j\\ \text{约束条件}\space \begin{cases} \sum_{j=1}^nw_jx_j\le b\\ x_j\in \text{N} \end{cases}$
当 $x_j=0或1$ 时的背包问题称之为0-1背包问题。

下面我们讨论其解法。

这个问题是否能由转成子问题的解的组合呢？首先我们可以知道已知条件： $n$ 个已知重量与其价值的物品，以及背包的最大容量 $b$ 。假设最大价值为 $F$ ，对于一个物品而言，它要么装进背包，要么不装进背包。于是我们可以得到两种情况一种是一个物品装进背包以及其不装进，比较其大小就得到了最大价值。当然如果背包的容量已经装不下该物品，则可以认为最优解是不装该物品。

我们假设这个物品是最后一个物品。于是得到了以下的递推形式：
$F(n,b)=\begin{cases}max\{F(n-1,b),F(n-1,b-w_n)+v_n\} \space b\ge w_n\\ F(n-1,b) \end{cases}$
可知这个问题满足最优子结构的特征。可以使用动态规划求解。为了保存最大价值我们用一个二维数组来保存对应的 $F (n, b)$ ,为了构造最优解我们通过一个二维数组来保存每次的比较结果 $S (n, b)$ ，其定义如下：
$\begin{cases} 1\space\space\space\space b\ge w_n且F(n-1,b)\le F(n-1,b-w_n)+v_n\\ 0\space\space\space\space 其他 \end{cases}$
我们通过 $S (n, b)$ 就能构造出最优解。

具体伪代码如下：

MakeBest(S,n,b,w)
	ans[1……n] = {0,……,0}//最优解
	while(b>=0&&n>=0)
		ans[n] = S(n,b)
        b-=ans[n]*W[n]
        n--;
	return ans

/**
 * 背包问题
 * */

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

pair<int,vector<int>> KP(vector<int> &w,vector<int> &v,int n,int b){
    vector<vector<int>> F(b+1,vector<int>(n+1,0));
    vector<vector<int>> S(b+1,vector<int>(n+1,0));
    
    vector<int> ans(n,0);

    for (int i = 1; i < b+1; i++)
    {
        for (int j = 1; j < n+1; j++)
        {
            if(i-w[j-1]<0) {F[i][j] = F[i][j-1];continue;}
            if(F[i][j-1]<F[i-w[j-1]][j-1]+v[j-1]){
                F[i][j] = F[i-w[j-1]][j-1]+v[j-1];
                S[i][j] = 1;
            }
            else F[i][j] = F[i][j-1];
        }
        
    }
    int ANS = F[b][n];

    //打印中间过程
    for (int i = 1; i < n+1; i++)
    {
        for (int j = 1; j < b+1; j++)
        {
            cout<<F[j][i]<<",";
        }
        cout<<endl;
    }
    
    //构造最优解
    while(n>=1&&b>=1){
        ans[n-1] = S[b][n];
        b-=ans[n-1]*w[n-1];
        n--;
    }
    return make_pair(ANS,ans);

} 
int main(){
    int n = 4,b = 10;
    vector<int> w = {2,3,4,7};
    vector<int> v = {1,3,5,9};
    
    auto ans = KP(w,v,n,b);
    cout<<ans.first<<endl;
    for(auto x : ans.second){
        cout<<x<<",";
    }
    system("pause");
}