线段树学习(一)

线段树，作为一种超级强大的数据结构，一种特殊的区间树。经我近几日的研究，发现线段树于我以前理解的有所不同，以前就我理解线段树只是一种简单的模板，区间查询，单点更新，几天便可精通，其实不是这样的，线段树拥有很强大的功能（区间查询，求和，异或，单点更新，区间修改，区间合并，扫描线）

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非叶子结点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

现在让我们从最简单的线段树开始：（最基础的模板）区间查询和单点更新 （以区间最小值和单点更新为例）

建立：

void build(int l, int r, int root){
    if (l == r){
        scanf("%d", &segtree[root]);
        return;
    }
    int mid = (l+r)>>1;
    build(l, mid, root<<1); //递归建立左子树
    build(mid+1, r, root<<1|1);//递归建立右子树
    segtree[root] = min(segtree[root<<1], segtree[root<<1|1]); //区间存储最小值
}

更新：

void update(int l, int r, int root, int key, int add){
    if (l == r){
        segtree[root] = add;  //更新
        return;
    }
    int mid = (l+r)>>1;
    if (key>mid) update(mid+1, r, root<<1|1, key, add); // 如果key>mid 说明区间位于右子树
    else update(l, mid, root<<1, key, add);
    segtree[root] = min(segtree[root<<1], segtree[root<<1|1]); //更改完需要向上更新
}

查询：如若不懂请见下图

int query(int l, int r, int root, int L, int R){
    if (L <= l && r <= R) return segtree[root];
    int mid = (l+r)>>1;
    int ans = INF;
    if (L <= mid) ans = min(ans, query(l, mid, root<<1, L, R)); 
    if (R > mid) ans = min(ans, query(mid+1, r, root<<1|1, L, R));
    return ans;
}