背包问题（01背包和完全背包）一维数组实现

最新推荐文章于 2025-12-01 09:56:34 发布

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#背包问题优化空间

本文介绍了一种使用一维数组优化01背包问题的方法，通过改变计算顺序，仅需一个长度为容量M的一维数组即可解决问题，大幅减少了空间复杂度。

01 背包问题

http://hihocoder.com/problemset/problem/1038

一维数组优化

且说小Ho搞清楚了计算方法，正在埋头苦写代码，在一旁看他写代码的小Hi是在看不下去了，决定再指点指点小Ho：“小Ho啊！”

“怎么了？”小Ho眼睛盯着屏幕，望都没望小Hi一眼。

“你现在是不是需要开一个N * M大小的二维数组best，来记录求解出的best值呀？”

小Ho终于有了点反应，抬起头来说道：“是啊，怎么了？“

“我有办法不用开这么大空间哦~”小Hi笑嘻嘻道：”可我就是不告诉你！”

“诶，别这样，我请你吃雪糕！”小Ho一听就急了，连忙许下了报酬。

“开玩笑啦~”小Hi也是随便逗了逗乐子就没继续：“你想想，在i已经是10以上的时候，best(5, j)这样的值还有用么？”

“没有用了……你是说，我并不需要在内存中存下来所有的best(i, j)，没有用了的值都可以不进行保存……也就是说，实际上只要开一个2*M大小的数组就可以了，然后像这样的方式进行来回的计算，是不是就可以了？”

“是的呢！但是还可以更少哦~让我来写这个程序的话，我只需要开一个M大小的一维数组就可以了”小Hi自信的说道：“你想想，如果我按照j从M到1的顺序，也就是跟之前相反的顺序来进行计算的话。另外根据我们的状态转移方程，可以显然得出如果状态(iA, jA)依赖于状态(iB, jB)，那么肯定有iA = iB+1, jA>=jB。所以不难得出一个结论：我在计算best(i, j)的时候，因为best(i, j+1..M)这些状态已经被计算过了，所以意味着best(i - 1, k)，k=j..M这些值都没有用了——所有依赖于他们的值都已经计算完了。于是它们原有的存储空间都可以用来存储别的东西，所以我不仿直接就将best(i, j)的值存在best(i-1, j)原有的位置上，就像这样。”

“原来还可以这样！这样一处理，不仅空间复杂度小了很多，代码也很好看了呢！”小Ho开心道。

“那你还不去写？”

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>


using namespace std;

int main()
{
    int N,M;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int need[503],value[503];
    for (int i=0;i<N;i++)
    {
        scanf("%d%d",&need[i],&value[i]);
    }
    int dp[100010];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    /**
    f(j)=max(f(j),f(j-need(j));
    */
    for (int i=0;i<N;i++)
    for (int j=M;j>=need[i];j--)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-need[i]]+value[i]);
    printf("%d\n",dp[M]);
    return 0;
}

完全背包

在01背包的基础上稍有改动

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>


using namespace std;

int main()
{
    int N,M;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int need[503],value[503];
    for (int i=0;i<N;i++)
    {
        scanf("%d%d",&need[i],&value[i]);
    }
    int dp[100010];//数组越界多次
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    /**
    f(j)=max(f(j),f(j-need(j));
    */
    for (int i=0;i<N;i++)
    for (int j=M;j>=need[i];j--)
    for (int k=1;k<=j/need[i];k++)//改动处
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*need[i]]+k*value[i]);
    cout<<dp[M]<<endl;
    return 0;
}