中国剩余定理&&扩展中国剩余定理

原创于 2019-08-19 21:14:09 发布 · 置顶 · 371 阅读

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本文深入探讨了中国剩余定理及其扩展版本，详细解析了当模数两两互质和非互质情况下的同余方程组求解算法。通过提供具体的C++代码实现，帮助读者理解并掌握CRT与EX_CRT的原理与应用。

中国剩余定理（CRT）：

若 m1, m2,...,mk 两两互质，则同余方程组

x≡a1 (mod m1)

x≡a2 (mod m2)

…………………
x≡ak (mod mk)

有整数解，解为

$x = (a_1*M_1*M_1^-+a_2*M_2*M_2^- +.........+a_k*M_k*M_k^- )$

其中：
$M = (m_1*m_2*m_3*........ m_k)$

$M_i= M / m_i$

long long CRT(long long a[], long long m[], int n)
{
    long long M = 1;
    for(long long  i = 0; i < n; i ++)
    {
        M *= m[i];
    }
    long long ans = 0;
    for(long long  i = 0; i < n; i ++)
    {
        long long tm = M/m[i];
        long long x = inv(tm,m[i]);
        ans = (ans+tm*x*a[i])%M;
    }
    return (ans + M)%M;

}

扩展中国剩余定理（EX_CRT）：

其中 m1, m2 , m3 ..... mk,不是两两互质的

当只有一个方程式时：解为 $x = a_1 +t*m_1$

假设已经求出的前k-1个方程式的解为 $x + t*M$ $( M = (m_1*m_2*m_3*........ m_k) )$

则加入第k个式子后， $x+t*m\equiv a_k (\mod m_k)$

转化一下 $t*m +y*m_k = (a_k -x)\mod k$

用扩展欧几里得求出t 和 gcd,若 $((a_k -x)\mod k )\% \gcd \neq 0$ ,不满足扩展欧几里得方程条件，则方程无解

否则，解为 $x_k = x+t*M$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[121000], m[120000];

long long  ex_gcd(long long a, long long b, long long  &x, long long &y)//扩展欧几里得
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        long long gcd = ex_gcd(b,a%b,x,y);
        long long x1 = y;
        long long y1 = x-a/b*y;
        x = x1;
        y = y1;
        return gcd;
    }
}


long long  mul(long long  a,long long  b,long long  mod)//快速乘，取模
{
    long long res=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

long long ex_crt(long long ai[], long long  mi[], long long  n)
{
    long long  x,y;
    long long M=mi[1],ans=ai[1];
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        long long a=M,b=mi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;
        long long  gcd=ex_gcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;
        if(c%gcd!=0)
            return -1;
        x=mul(x,c/gcd,bg);
        ans+=x*M;
        M*=bg;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}


int main()
{
    long long n;
    scanf("%lld",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%lld %lld",&m[i], &a[i]);
    }
    printf("%lld\n",ex_crt(a,m,n));
    return 0;
}