红黑树：一种平衡二叉查找树_红黑树是一种自平衡二叉查找树-优快云博客

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红黑树是一种近似平衡的二叉查找树，它的高度通常不超过平衡二叉树的两倍，这确保了在频繁的插入、删除操作下仍能保持较高的效率。虽然不如AVL树严格平衡，但红黑树的插入和删除操作更为简单，适合工程应用。文章介绍了红黑树的基本概念、性质和为何称为近似平衡。

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二叉查找树是最常用的一种二叉树，它支持快速插入、删除、查找操作，各个操作的时间复杂度跟树的高度成正比，理想情况下，时间复杂度是O(logn)。但是，二叉查找树在频繁的动态更新过程中，可能会出现树的高度远大于 $log_{2}n$ 的情况，从而导致各个操作的复杂度降低。极端情况下，二叉树会退化为链表，时间复杂度会退化为O(n)。要解决时间复杂度退化问题，就需要设计一种平衡二叉查找树，而红黑树就是一种常见的平衡二叉查找树。

在工程中，很多用到平衡二叉查找树的地方都会用到红黑树。

1、什么是“平衡二叉查找树”？

平衡二叉树的定义是：二叉树中任意节点的左右子树的高度相差不能大于1。所以前面讲到的完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是是平衡二叉树。

平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是AVL树，它严格符合平衡二叉查找树的定义。但是也有很多平衡二叉查找树没有严格符合上面的定义（左右子树的高度相差不能大于1），比如要讲到的红黑树，它从根节点到各个叶子结点的最长路径，可能会比最短路径大一倍。

发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷，就是希望解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况，这样就可以让整棵树的高度相对来说低一点，从而相应的插入、删除、查找等操作的效率也高一些。

所以只要树的高度不比 $log_{2}n$ 大很多，尽管不符合前面平衡二叉树的严格定义，但是仍然可以说这是一个合格的平衡的二叉树。

2、如何定义一棵“红黑树”？

红黑树的英文名是“Red-Black Tree”，简称R-B Tree，它是一种不严格定义的平衡二叉查找树。红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足下面这些要求：

根节点是黑色的；
每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说红色的节点是被黑色的节点隔开的；
每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

下面的画图跟讲解中，都将黑色的空叶子节点省略掉。

3、为什么说红黑树是“近似平衡”的？

如果要证明红黑树是近似平衡的，我们只需要分析，红黑树的高度是否稳定地趋近 $log_{2}n$ 。

（1）如果我们将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是多少呢？

红色节点删除以后，有些节点就没有父节点，会直接拿这些节点的祖父节点作为父节点，所以之前的二叉树就会变成四叉树。所以包含黑色节点的四叉树，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。完全二叉树的高度近似 $log_{2}n$ ，所以去掉红色节点的“黑树”的高度不会超过 $log_{2}n$ 。

（2）知道只包含黑色节点的“黑树”的高度，那我们现在把红色节点加回去，高度会变成多少呢？

从红黑树的定义，红色节点不能相邻，也就是说有一个红色节点，至少有一个黑色节点，将它与其他红色节点隔开。红黑树中包含最多黑色节点的路径不会超过 $log_{2}n$ ，所以加入红色节点以后，最长路径不会超过2 $log_{2}n$ ，也就是说，红黑树的高度近似2 $log_{2}n$ 。

所以，红黑树的高度，只是比高度平衡的AVL树的高度（ $log_{2}n$ ）仅仅大一倍，但是性能上下降的并不多。AVL树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利有弊，AVL树为了维护这种高度的平衡，每次插入、删除都要调整，就会比较复杂、耗时。所以对于有频繁的插入、删除操作的数据集合，使用AVL树的代价就比较高。红黑树只是做到近似平衡，并不是严格的平衡，所以在维护平衡的成本上，要比AVL树低。

红黑树的插入、删除、查找各种操作性能都比较稳定。对于工程应用来说，要面对各种异常情况，为了支撑这种工业级的应用，我们更倾向于这种性能稳定的平衡二叉查找树。