Strassen算法

最新推荐文章于 2024-03-11 20:36:50 发布

Liilc

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–《算法导论第三版》第4章分治策略
Strassen算法的核心思想是令递归树稍微不那么茂盛一点儿，即只递归进行7次而不是8次 $\frac{n}{2}$ × $\frac{n}{2}$ 矩阵的乘法。减少一次矩阵乘法带来的代价可能是额外几次 $\frac{n}{2}$ × $\frac{n}{2}$ 矩阵的加法，但只是常数次 。

假定将A，B和C均分解为4个 $\frac{n}{2}$ × $\frac{n}{2}$ 的子矩阵：
$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}, C =\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\C_{21} & C_{22} \end{bmatrix}$
因此可将公式 $\cdot B$ 改写成
$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}$
则：
$C_{11} = A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ C_{12} = A_{11} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{21} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{22} = A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22}$