图之各种概念介绍及对比辨析

一、.背景

学习该章节，总对图的相关概念理解不清，现再次学习总结后，有了新的认识。

二、.概念

下面介绍几个概念
这里我们讨论无向图，因为只有无向图才有极大连通分量，极小连通分量、生成树等易模糊的概念
1.连通：从顶点v到w有路径存在,则称v和w连通。注意：连通，不一定有直接相连的边

2.连通图：任意两个顶点连通。注意：连通图不是完全图，完全图要求必须每个点之间有边

3.子图：假设有两个子图G=(V,E)和G′=（V′,E′）,若V′是V的子集，且,E′是E的子集，则称G′是G的子图。
注意：如果E′相关联的顶点，不在V′内，则不是子图

4.生成子图：若图G的一个子图包含G的所有顶点，则称该子图为G的一个生成子图。或者：若满足V(G′)=V(G),则称G′为G的生成子图。

5.连通子图：连通的子图。 注意：一般不提及这个概念，这里只有更好的对下面进行说明

6.极大连通子图：
1）对于连通图 极大连通子图（包含边最多的连通子图）即本身（包含所有边）
2）对于非连通图：非连通图中连通的每一个部分（每一个连通部分包含边最多的连通子图即为该连通部分本身）。

7.连通分量：无向图的极大连通子图。注意：1.连通分量就是极大连通子图。2.连通分量是无向图的概念，而强连通分量是有向图里的概念。

8.极小连通子图：
1）对于连通图：某一顶点子集所确定的连通子图中包含边最少的连通子图（n个顶点，无向连通图最少n-1条边，有向连通图最少n条边——成环）。
2）对于无向图：非连通图中每一连通部分的极小连通子图。

9.生成树：图全部顶点所确定的极小连通子图即为连通图的生成树。

10.生成森林：由每一连通部分所有顶点所确定的极小连通子图即为该连通部分的生成树，各连通部分的生成树构成非连通图的生成森林。

三.深入

1.极大连通子图与极小连通子图

1）图连不连通，都可以找到极大连通子图，若图是连通的，本身就是极大连通子图
2）极小连通子图，是只对连通图而言

2.极大连通子图与连通分量

非连通图的每一个连通分量都是极大连通子图。
连通图的，本身就是极大连通子图，本身也是唯一的连通分量
极大连通子图是一般，连通分量是个别。

3.极小连通子图与生成树

连通图的每一个生成树都是极小连通子图
极小连通子图是一般，生成树是个别

4. 极小连通子图与连通分量

恰巧，一个连通图有n个顶点，有n-1条边，则本身是极小连通子图（也唯一的生成树），连通分量（也是唯一的极大连通子图）

5.生成森林与连通分量

非连通图中，连通分量的生成树构成非连通图是生成森林

四、总结

学无止境，人无完人！