动态规划(三)——最长递增子序列

问题

给定一个序列 { A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n } \{A_1,A_2,A_3,...,A_n\} {A1​,A2​,A3​,...,An​},找出其中若干个元素(不必连续),构成新的子序列 { A x , . . . , A y } \{A_x,...,A_y\} {Ax​,...,Ay​}使得$\forall x\le i<j\le y,有A_i<A_j$。求最长递增子序列长度

分析

• 最基础的方法是枚举所有子序列，逐一判断，时间复杂度为$O(2^n)$,不能接收
• 使用动态规划可将时间复杂度降为$O(n^2)$
  • 设置一维数组dp[],令 dp[i]表示以A[i]作为结尾的最长递增子序列的长度
  • A[i]之前的元素都比A[i]大,即最长递增子序列只有A[i]本身,即dp[i]=1
  • 当A[i]之前的元素A[j]小于A[i] ,此时只需要将A[i]添加到以A[j]为结尾的序列,遍可构成新的递增序列,即dp[i] = dp[j]+1
  • 所以dp[i] = max{1, dp[j]+1 | j < i && Aj < Ai }

例题

描述
某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的高度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后面的导弹，再拦截前面的导弹。
输入描述：
每组输入有两行， 第一行，输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25）， 第二行，输入k个正整数，表示k枚导弹的高度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。
输出描述：
每组输出只有一行，包含一个整数，表示最多能拦截多少枚导弹。

分析

• 这里找的是最大递减序列
• 注意的是不高于,但是可以等于,所以与最长递减的序列第一个元素相等的高度也是可以被拦截的

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 26

using namespace std;

int order[MAXN];
int dp[MAXN];

int LIS(int n) {
    // answer初始化为1,因为序列至少有一个那么至少长度为1
    int answer = 1;
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;  //一定要初始化为1,自动初始化为0,会导致后面的结果不是在1基础上累加的
        // 遍历该之前的节点
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (order[j] >= order[i])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);	
        answer = max(answer, dp[i]);
    }
    return answer;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        memset(order, 0, sizeof(order));
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &order[i]);
        int answer = LIS(n);
        printf("%d\n", answer);
    }
    return 0;
}