AcWing 130 火车进出栈问题

题目描述:

一列火车n节车厢,依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式,进栈与出栈,问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入格式

输入一个整数n,代表火车的车厢数。

输出格式

输出一个整数s表示n节车厢出栈的可能排列方式数量。

数据范围

1≤n≤60000

输入样例:

3

输出样例:

5

分析:

与上一题不同的是,本题只需要输出栈混洗的合法方案个数。根据递推公式可以得出n个元素栈混洗的数目为Catalan(n)个,递推公式的推导以及卡特兰数公式的推导这里不多加赘述,栈混洗序列中,除了“312”禁形外还剩h(n)=C(2n,n)/(n+1)个合法序列。所以本题的考点在于用高精度实现卡特兰数的计算,即求(2n * (2n-1)*...*(n+1)) / n! / (n+1)。

方法一:(高精度)

直接进行高精度乘法和除法运算。为了缩小中间结果的位数,采取乘一个数立刻除一个数的形式,具体表现为:乘2n除1,乘2n-1除2,乘2n-2除3...。至于为何这样每次都能够整除,可归结为:三个连续的整数连乘必然能被3整除,依次类推到n个整数连乘可以被n整除。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
void mul(vector<int> &v,int a){
    int size = v.size();
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < size;i++){
        v[i] = v[i] * a + t;
        t = v[i] / 10;
        
### 单调算法简介 单调是一种特殊的结构,在处理某些特定问题时非常高效。其核心特点是保持元素按照某种顺序排列,通常为递增或递减序列[^1]。 #### 单调的应用场景 当遇到如下特征的问题时可以考虑使用单调: - 需要找到某个范围内最大/最小值的置 - 寻找左侧第一个大于等于当前置 - 查找右侧第一个小于当前值的情况 这些问题在实际编程竞赛中较为常见,尤其是在涉及组、链表等线性据结构的操作上表现出色[^2]。 #### AcWing平台上的单调题目实例解析 ##### 实例一:寻找下一个更大元素 (Next Greater Element) 给定两个没有重复字的组 `nums1` 和 `nums2` ,其中 `nums1` 是 `nums2` 的子集。对于每一个于 `nums1[i]` 中的元素,在 `nums2` 组里查找该置右边的第一个更大的;如果不存在,则返回 `-1` 。此题可以通过构建一个从右向左遍历并维护降序关系的单调来解决。 ```python def nextGreaterElement(nums1, nums2): stack = [] res_map = {} for num in reversed(nums2): while stack and stack[-1] <= num: stack.pop() if not stack: res_map[num] = -1 else: res_map[num] = stack[-1] stack.append(num) result = [res_map[x] for x in nums1] return result ``` 上述代码实现了通过一次反向扫描建立映射表的功能,并利用了单调特性快速定到目标值及其对应的最近较大值[^3]。 ##### 实例二:柱状图中的最大矩形面积 (Largest Rectangle in Histogram) 这个问题要求在一个由多个宽度相同但高度不同的直方条组成的图形中找出能够构成的最大矩形区域。解决方案之一就是采用两次正逆双向遍历的方法配合单调实现高效的计算过程。 ```python def largestRectangleArea(heights): heights.append(0) # 添加哨兵节点简化边界条件判断 stack = [-1] max_area = 0 for i, h in enumerate(heights): while heights[stack[-1]] > h: height = heights[stack.pop()] width = i - stack[-1] - 1 max_area = max(max_area, height * width) stack.append(i) return max_area ``` 这段程序展示了如何巧妙运用单调技巧以及额外加入辅助元素的方式解决了复杂度较高的几何优化难题[^4]。
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