AcWing 130 火车进出栈问题

最新推荐文章于 2024-01-22 05:44:27 发布

昂昂累世士

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分类专栏：算法竞赛进阶指南文章标签：栈混洗卡特兰数高精度压位质因数分解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_30277239/article/details/89788462

题目描述：

一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入格式

输入一个整数n，代表火车的车厢数。

输出格式

输出一个整数s表示n节车厢出栈的可能排列方式数量。

数据范围

1≤n≤60000

输入样例：

输出样例：

分析：

与上一题不同的是，本题只需要输出栈混洗的合法方案个数。根据递推公式可以得出n个元素栈混洗的数目为Catalan（n）个，递推公式的推导以及卡特兰数公式的推导这里不多加赘述，栈混洗序列中，除了“312”禁形外还剩h(n)=C(2n,n)/(n+1)个合法序列。所以本题的考点在于用高精度实现卡特兰数的计算，即求（2n * （2n-1）*...*（n+1）） / n! / (n+1)。

方法一：（高精度）

直接进行高精度乘法和除法运算。为了缩小中间结果的位数，采取乘一个数立刻除一个数的形式，具体表现为：乘2n除1，乘2n-1除2，乘2n-2除3...。至于为何这样每次都能够整除，可归结为：三个连续的整数连乘必然能被3整除，依次类推到n个整数连乘可以被n整除。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
void mul(vector<int> &v,int a){
    int size = v.size();
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < size;i++){
        v[i] = v[i] * a + t;
        t = v[i] / 10;