HDOJ 1716-排列2

本文探讨了排序算法在组合数学中的应用,具体通过解决排列问题来实现不同数字的组合排序,包括输入四个数字并输出所有可能的排列,强调算法效率与逻辑结构。

排列2

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Problem Description
Ray又对数字的列产生了兴趣:
现有四张卡片,用这四张卡片能排列出很多不同的4位数,要求按从小到大的顺序输出这些4位数。
 

Input
每组数据占一行,代表四张卡片上的数字(0<=数字<=9),如果四张卡片都是0,则输入结束。
 

Output
对每组卡片按从小到大的顺序输出所有能由这四张卡片组成的4位数,千位数字相同的在同一行,同一行中每个四位数间用空格分隔。
每组输出数据间空一行,最后一组数据后面没有空行。
 

Sample Input
1 2 3 4 1 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0
 

Sample Output
1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 1123 1132 1213 1231 1312 1321 2113 2131 2311 3112 3121 3211 1023 1032 1203 1230 1302 1320 2013 2031 2103 2130 2301 2310 3012 3021 3102 3120 3201 3210
 
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int wc[10000];
int main()
{
	bool p=false;
	while(scanf("%d%d%d%d",&wc[0],&wc[1],&wc[2],&wc[3])&&(wc[0]||wc[1]||wc[2]||wc[3]))
	{
		if(p)
		{
			printf("\n");
		}
		p=true;
		int uu=1,pp;
		do
		{
			if(wc[0]==0)
			{
				continue;
			}
			if(uu)
			{
				printf("%d%d%d%d",wc[0],wc[1],wc[2],wc[3]);
				uu=0;
			}
			else if(pp==wc[0])
			{
				printf(" %d%d%d%d",wc[0],wc[1],wc[2],wc[3]);	
			}
			else
			{
					printf("\n%d%d%d%d",wc[0],wc[1],wc[2],wc[3]);
			}
			pp=wc[0];
		}while(next_permutation(wc,wc+4));
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

<think>好的,我需要解决用户关于HDOJ 2045题目的问题。首先,我要确定这道题的具体内容。HDOJ是杭州电子科技大学的在线判题系统,题目编号2045应该对应某个特定的编程问题。 用户要求的是解题思路或代码实现。根据我的知识库,HDOJ 2045的题目可能涉及到递推或动态规划的问题。比如,常见的递推题目可能是类似“不容易系列”中的涂色问题,比如“RGB涂色问题”。假设题目是这样的:有排成一行的n个方格,用红、绿、蓝三种颜色涂每个格子,要求相邻和首尾不能同色,求所有满足条件的涂法数目。 接下来,我需要回忆这类问题的解法。通常这类问题可以通过递推来找规律。例如,当n=1时,三种颜色都可以用,所以有3种方法。当n=2时,第一个格子有3种选择,第二个不能与第一个相同,所以有3*2=6种。当n=3时,第三个不能与第二个和第一个相同,但这时候需要考虑首尾是否相同的情况。 不过可能更准确的是,题目中的限制是首尾也不能相同,所以当n>=3时,递推公式需要考虑两种情况:前n-1个格子的首尾是否相同。假设当有k个格子时,总数为f(k),那么对于第k+1个格子,如果前k个的首尾不同,则第k+1个格子有两种选择;如果相同的话,可能需要不同的处理。或者更简单的方式,找到递推关系式。 比如,正确的递推公式可能是f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2)。不过需要验证是否正确。或者另一种情况,当n=1时,3种;n=2时,3*2=6种;n=3时,3*2*1=6种?或者可能当n=3时,因为首尾不能相同,所以第三个格子不能等于第二个和第一个。这时候可能实际数目是6种?或者需要更仔细的分析。 可能正确的递推式是f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2)?或者更简单的,通过观察样例数据。例如,假设题目给出的样例输入输出是:当n=1时输出3,n=2时6,n=3时6,n=4时18,那么可能的递推式为f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2)。或者可能当n>=3时,递推式是f(n) = f(n-1)*2 + f(n-2)*2。但需要更仔细推导。 另外,可能的正确递推式是f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2)。例如,当n=3时,根据递推式,f(3)=2*6 +3=15,这与假设的情况不符,所以这可能不正确。可能需要另一种思路。 正确的递推式应该是考虑当第n-1个颜色与第一个是否相同。例如,当增加第n个格子时,如果第n-1个颜色与第一个不同,那么第n个格子有两种选择;如果相同,则有两种选择?或者这可能比较复杂。 或者,正确的递推式为:对于n个格子,第一个格子有3种选择,第二个有2种,第三个开始的每个格子需要考虑前一个格子的颜色,同时最后一个不能与第一个相同。这种情况下,可以用递推式,但需要分情况讨论。 例如,当考虑前n-1个格子时,如果它们的首尾颜色相同,那么第n个格子有两种选择,因为不能与第n-1个和第一个相同;如果前n-1个首尾颜色不同,那么第n个格子有1种选择,因为不能与第n-1个和第一个不同中的那个。或者,这可能需要更详细的数学推导。 另一种思路是,总共有三种颜色,每个格子不能与相邻的相同,且首尾不同。这样的排列数可以用递推公式推导。这种情况下,可以参考环状排列的问题,但这里是线性的排列,但首尾视为相邻,所以问题类似于环状排列。 在环状排列的问题中,颜色数的公式是 (m-1)^n + (-1)^n (m-1),其中m是颜色数目。不过这可能不适用于线性排列首尾相连的情况。或者,可以将问题转化为线性排列,然后处理首尾不同的情况。 对于线性排列,不考虑首尾的情况下,总共有3*2^(n-1)种方法。但其中需要排除首尾相同的情况。因此,总数为:3*2^(n-1) - 符合条件的首尾相同的数量。但如何计算首尾相同的数量? 当首尾相同的情况下,可以视为将首尾固定为同一种颜色,此时中间的n-2个格子必须满足相邻不同颜色,并且第2个到第n-1个格子之间的颜色也不能相同。这可能形成一个递归的问题。 这时候,可以设f(n)为n个格子首尾不同的情况数,g(n)为首尾相同的情况数。则: 总的情况数为f(n) + g(n) = 3*2^{n-1}。 但根据题目要求,需要f(n),即首尾不同的情况数。 如何推导f(n)的递推式? 假设对于n个格子,首尾不同的情况数f(n),则当添加第n+1个格子时,我们需要保证原来的首尾不同,并且新的尾(第n+1个)不能等于第n个和原来的首。 但这种情况可能需要更复杂的递推。 另一种方法是,当首尾不同时,可以递推得到: 当n=1时,不存在首尾不同的情况,但题目可能允许n>=3?或者可能题目中的n>=1,具体情况需要根据题目描述。 或者,正确的递推式可能为: 当n=1时,3种;n=2时,3*2=6种;n=3时,3*2*1=6种;n>=3时,递推式为f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2)。例如,当n=4时,f(4)=6 + 2*6=18,这可能是正确的。而当n=3时,6种,符合。这样递推式可能成立。 此时,当n >=3时,f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2)。例如: n=1 →3 n=2 →6 n=3 →6 =6 + 2*3? 不,n=3时,按照递推式应该是f(3)=f(2)+2*f(1)=6+2*3=12,这与之前假设的6不符,所以这说明递推式可能有误。 这表明我的思路有问题,需要重新分析。 正确的做法可能应该是:考虑当添加第n个格子时,前n-1个格子已经满足首尾不同,并且第n个格子需要与第n-1个和第一个都不同。这时候,当n>=3时,第n个格子只能选择一种颜色,因为如果第一个和第n-1个颜色不同,那么第n个格子必须不同于这两个颜色,所以只有1种选择。例如: 总的情况数f(n) = f(n-1) *1 + ? 或者,当n>=3时,每次增加一个格子需要考虑两种情况:前一个格子的颜色是否与第一个相同。或者这可能比较复杂。 或者,参考组合数学中的递推公式。对于线性排列,首尾不同的条件,可以这样考虑: 设总共有f(n)种方法满足相邻不同且首尾不同的条件,g(n)为相邻不同但首尾相同的情况数。 则: 当n=1时,g(1)=3(因为首尾相同),而f(1)=0? 这显然不对,因为当n=1时,首尾相同是必然的,所以当题目要求首尾不同时,n=1的情况不可能存在。这可能说明题目中的n>=3? 或者题目中的n可能大于等于3?或者可能原题中的n是网格排成一列,并且首尾不相连,但题目可能有不同的条件。我需要重新确认题目。 假设题目确实是排成一列,首尾不相连,但题目中的条件可能并非如此。例如,题目可能有不同的条件,如每个格子相邻颜色不同,但首尾颜色可以相同?或者题目可能要求首尾颜色不同? 例如,假设题目是“有n个格子排成一列,每个格子涂色,颜色为R、G、B中的一种,相邻的不能相同,且首尾也不能相同,求总共有多少种方法?” 这时候,正确的递推式可能需要考虑。例如: 当n=1时,无法满足首尾不同,因为只有一个格子,所以答案是0?或者题目中的n>=3? 或者可能原题中的n>=3? 但根据用户提供的题目编号是HDOJ 2045,我需要回忆或查找该题的具体内容。但根据我的知识库,HDOJ 2045的题目是“不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题”,其描述是:有排成一行的n个方格,用红、绿、蓝三种颜色涂每个格子,每格涂一色,要求相邻的不能同色,且首尾两格也不能同色。求全部的满足要求的涂法总数。 根据这个描述,正确的递推公式是: 当n=1时,只有3种方法,但此时首尾相同,但题目中n=1的情况可能被排除?或者题目中的n>=2? 但根据问题描述,当n=1时,首尾不存在,所以可能条件自动满足。但题目可能要求n>=2? 根据HDOJ 2045的实际情况,可能正确的递推式是: 当n == 1时,ans =3 当n ==2时,ans =6 当n >=3时,ans = 2* f(n-1) + f(n-2) 或者另一个可能的递推式是: f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2) 或者根据组合数学的推导,正确的递推式可能是: 当n >=3时,f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2) 或者,正确的递推式是f(n) = 2^(n-1) + 2*(-1)^n,但这可能不适用。 可能需要找到正确的递推关系。假设当有n个格子时,首尾不同,那么可以考虑两种情况: 1. 第n-1个格子与第一个格子颜色相同。 在这种情况下,第n个格子必须与第n-1个(即第一个)不同,同时也要与第n-1个不同。此时,这种情况下的数目等于f(n-2) * 1 * 2?或者可能需要重新分析。 或者,正确的递推式可以通过以下方式推导: 当增加第n个格子时,前n-1个格子必须满足相邻不同且首尾不同。此时,第n个格子的颜色必须与第n-1个和第一个不同。但是,这可能只有在第n-1个颜色与第一个颜色不同的情况下才成立,而这种情况在n>=3时可能已经被满足。 例如,对于n个格子,假设前n-1个格子的首尾颜色不同,那么第n个颜色必须与第n-1个和第一个颜色不同。如果前n-1个格子的首尾颜色不同,那么第一个和第n-1个颜色是不同的,因此第n个颜色只能选择剩下的1种颜色。因此,这种情况下,数目等于前n-1个格子的总数(即满足条件的数目)乘以1。但此时前n-1个格子的首尾已经不同,所以当添加第n个格子时,必须选择与第n-1和第一个不同的颜色,因为第一个和第n-1个不同,所以剩下的颜色有1种选择。所以这种情况下数目为f(n-1)*1。 但是,如果前n-1个格子的首尾颜色相同,那么此时可能无法满足题目条件。因为当n>=3时,原来的前n-1个格子首尾相同的情况可能存在吗?例如,当n=3时,前两个格子颜色不同,第三个颜色必须与第二个不同,但第三个也必须与第一个不同,所以如果第三个颜色与第一个相同,那么就会导致首尾相同。这种情况下,原来的前n-1个格子可能有两种情况:首尾相同或不同。 所以,正确的递推式可能需要分情况讨论: 设f(n)为n个格子满足条件的数目,即首尾不同且相邻不同。 当考虑n个格子时,前n-1个格子可能有两种情况: 1. 前n-1个格子的首尾颜色不同:此时,第n个颜色必须与第n-1个和第一个不同。由于第一个和第n-1个颜色不同,所以剩下的颜色有1种选择。所以数目为f(n-1) *1。 2. 前n-1个格子的首尾颜色相同:此时,这种情况下,这样的数目设为g(n-1)。此时,第n个颜色必须与第n-1个(也就是第一个)颜色不同,同时与第n-1个颜色不同。因此,此时第n个颜色有2种选择。所以数目为g(n-1)*2。 因此,总的数目为:f(n) = f(n-1)*1 + g(n-1)*2. 但需要知道g(n-1)的表达式。而总共有,对于n-1个格子来说,总共有两种情况:首尾不同(f(n-1))和首尾相同(g(n-1))。对于n-1个格子来说,总数目为f(n-1)+g(n-1) = 3*2^{n-2}?因为不考虑首尾是否相同的情况下,每个格子相邻不同的情况数是3*2^{n-1}?或者这可能不正确。 或者,总的情况数对于n个格子,相邻不同的情况数是3*2^{n-1}。其中,首尾不同的数目是f(n),首尾相同的数目是s(n) = 3*2^{n-1} - f(n). 但此时我们需要找到f(n)的递推式。 根据上面的分析,对于n个格子,首尾不同的数目f(n) = s(n-1)*1 + f(n-1)*1? 或者可能需要重新推导。 另一个思路是,对于n个格子,相邻颜色不同,总共有3*2^{n-1}种方法。其中,首尾颜色相同的数目为s(n),首尾不同的数目为f(n) = 3*2^{n-1} - s(n). 我们需要找到s(n)的递推式。例如,当首尾颜色相同时,可以将前n-1个格子看作一个环,但可能更复杂。 或者,可以推导s(n)的递推式。当首尾颜色相同时,前n-1个格子必须相邻不同,并且第n-1个颜色等于第一个颜色。这时候,相当于将前n-1个格子形成一个环,其中第一个和第n-1个颜色相同,而其他相邻不同。这种情况下,数目可能等于s(n) = 2^{n-2} ? 或者,可以参考环排列的公式。对于环形排列,m种颜色,相邻不同的数目为 (m-1)^n + (-1)^n (m-1). 当m=3时,数目是2^n + 2*(-1)^n。但这可能适用于环形排列的情况,而我们这里是线性排列但首尾视为相邻,因此可能类似环形的情况。 因此,在这种情况下,s(n) = (2^n + 2*(-1)^n). 例如,当n=3时,s(3)= 8 + (-2)=6? 但实际当n=3时,首尾相同的数目是多少? 假设n=3,三个格子,每个相邻不同,且首尾相同。那么可能的颜色序列有:第一个颜色是R,第二个可以是G或 B。假设第二个是G,第三个必须是R(因为不能与第二个相同,且首尾相同)。所以可能的序列是RGR, BGB,GRG,GBG,BRB, RBR? 但实际数目可能为6种?此时s(3)=6. 根据公式,当n=3时,代入s(n)=2^3 + 2*(-1)^3=8-2=6,与实际相符。因此,s(n)=2^n + 2*(-1)^n. 因此,首尾不同的数目为f(n) =3*2^{n-1} - s(n) =3*2^{n-1} - (2^n +2*(-1)^n) = 3*2^{n-1} -2^n -2*(-1)^n = (3*2^{n-1} -2*2^{n-1}) ) -2*(-1)^n = 2^{n-1} - 2*(-1)^n. 简化得:f(n) =2^{n-1} + 2*(-1)^{n+1}. 例如,当n=3时,f(3)=2^{2} + 2*(-1)^4=4 +2=6,与之前的例子相符。当n=4时,f(4)=8 +2*(-1)^5=8-2=6?或者可能计算错误。或者原式应为f(n)=2^{n-1} + 2*(-1)^n ? 可能需要重新计算: 原式:f(n)=3*2^{n-1} - (2^n +2*(-1)^n) = 3*2^{n-1} -2^n -2*(-1)^n = (3*2^{n-1} - 2*2^{n-1}) ) -2*(-1)^n = (2^{n-1}) ) -2*(-1)^n. 所以,正确的表达式是f(n)=2^{n-1} + 2*(-1)^{n}. 例如,当n=3时,f(3)=4 +2*(-1)^3=4-2=2?这与之前的例子不符,说明推导错误。 这表明我的推导有误,需要重新考虑。 或者,可能正确的公式是f(n) = 2^{n} + 2*(-1)^n. 例如,当n=3时,f(3)=8 +2*(-1)^3=8-2=6,这与之前的例子一致。当n=4时,f(4)=16 + 2*1=18,这可能正确? 此时,当n=4时,总共有3*2^3=24种相邻不同的情况。首尾相同的数目s(4)=2^4 + 2*(-1)^4=16+2=18。那么首尾不同的数目f(4)=24-18=6? 这与公式计算的f(4)=16+2=18矛盾,显然错误。 这表明我的推导过程存在严重错误,必须重新分析。 正确的思路应该是: 当问题变为环形排列时,即首尾相邻,此时数目为2^n + 2*(-1)^n(当m=3时)。但对于线性排列,首尾视为相邻的情况,是否等同于环形排列?或者这是不同的情况。 可能在这种情况下,总的情况数等于环形排列的情况数,即2^n + 2*(-1)^n。但原问题中的条件是线性排列,但首尾被视为相邻,所以等同于环形排列。所以,首尾不同的数目等于环形排列的数目。 但这与问题描述可能不符,因为原问题中的排列是线性的,但题目要求首尾颜色不同,所以总数目等于环形排列中满足相邻不同的数目。 因此,答案应该是2^n + 2*(-1)^n。 例如,当n=3时,数目是2^3+2*(-1)^3=8-2=6种,符合前面的例子。当n=4时,数目是16+2=18种。那么对于HDOJ 2045,正确的递推式应该基于这个公式。 因此,正确的递推公式可以表示为: 当n=1时,0种(因为首尾无法不同) 当n=2时,6种(每个颜色与前一个不同,首尾不同) 当n>=3时,数目为2^{n} + 2*(-1)^n. 但根据实际测试,例如当n=3时,3个格子,每个相邻不同且首尾不同的数目是6种,符合公式的结果。而当n=4时,数目为2^4 +2*(-1)^4=16+2=18种。这可能正确。 因此,用户需要的代码可能基于这个公式,或者使用递推式来实现。 现在,我需要编写相应的代码。例如,对于输入的n,当n=1时输出0,n>=2时计算2^{n} + 2*(-1)^n。或者,可能原题中的n>=1,但根据问题描述,当n=1时,首尾不同无法满足,所以输出0。例如: 当n=1时,输出0 当n=2时,3*2=6种 当n>=3时,数目为2^{n-1} *2 + ... 可能按照递推式f(n)=f(n-1)*2 + 0之类的,但更直接的代码是使用公式。 因此,代码可以写成: 当n==1时,输出0 当n==2时,输出6 当n>=3时,输出 2**n + 2*(-1)**n 但需要验证这个公式是否正确。例如,当n=3时,2^3 +2*(-1)^3=8-2=6,正确。当n=4时,16+2=18,正确。当n=5时,32-2=30。 但根据递推式,如果使用递推,可能更容易处理大数问题。例如,当n很大时,直接计算2^n可能溢出。在HDOJ的题目中,可能需要处理大数,或者题目要求mod某个数。但根据用户提供的引用中,例如引用[4]提到mod 2^64,但不确定是否该题需要处理。 根据HDOJ 2045的实际题目,可能当n很大时,需要计算结果,但由于没有取模,可能需要处理非常大的数。但可能题目中的n范围较小,或者允许使用递推式来计算。 因此,代码实现可以使用递推的方式。例如,根据递推式 f(n) = f(n-1)*2 + f(n-2)*2,当n >=4时?或者根据正确的递推式。 例如,观察之前的公式: f(n) = 2^n + 2*(-1)^n 那么递推式可以表示为: f(n) = 2^(n) + 2*(-1)^n 这可以转换为递推式吗?例如: 对于n >=3,f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2) ? 当n=3时,f(3)=6=2*6 +2*3=12+6=18? 这显然错误。所以这说明这个公式无法用简单的递推式表达,而必须直接计算。 因此,正确的代码应该根据数学公式直接计算结果。例如,在Python中,可以处理大整数,因此可以直接计算。 因此,当用户输入n时: 如果 n == 1: print(3) # 但根据公式,当n=1时,首尾不同不可能,所以可能原题中的条件是否不同? 这里存在矛盾,因为根据之前的推导,当n=1时,无法满足首尾不同的条件,所以数目为0。但原题可能有不同的条件。 需要重新确认HDOJ 2045题目的具体情况。根据我的知识库,HDOJ 2045的题目描述中,当n=1时,答案是3,因为首尾不存在,所以条件自动满足,不需要首尾不同。或者可能原题的条件不同? 例如,原题可能的条件是相邻不同,但首尾可以不同或者相同?或者可能题目中的条件在n=1时允许任何颜色? 例如,原题可能的条件是:当n=1时,任何颜色都可以,所以数目为3;当n>=2时,相邻颜色不同,且首尾颜色不同。这种情况下,当n=1时答案为3,n=2时答案为6(3*2),n>=3时使用公式。 这种情况下,正确的公式为: 当n==1时,3 当n==2时,6 当n >=3时,f(n)=2^{n-1} + 2*(-1)^{n} 例如: n=3 → 2^{2} + 2*(-1)^3=4-2=2? 但根据前面的例子,当n=3时,正确的数目应该是6?这说明我的公式可能错误。 这表明我的分析存在错误,必须重新思考。 回到原题,正确的递推式可能需要重新推导。 假设题目中的条件是:相邻不同,且首尾不同。求n个格子的涂色数目。 当n=1时,因为只有1个格子,没有相邻,所以三个颜色都可以,数目是3。但此时首尾的条件不存在,所以可能题目中的条件在n>=2时才有首尾不同的限制? 或者题目中的条件在n=1时无需考虑首尾,所以数目为3;当n>=2时,必须相邻不同且首尾不同。 例如,HDOJ 2045的正确递推式为: 当n=1 →3 n=2 →6 n>=3时,递推式f(n) = f(n-1)*2 + f(n-2)*1 或者,正确的递推式可能是f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2) 例如: 当n=3时,f(3)=6+2*3=12? 但根据前面的例子,当n=3时,正确的数目应为6种,所以这显然错误。 这说明必须重新推导递推式。 正确的方法是: 设总共有n个格子,每个格子涂色,相邻不同,且首尾不同。 当n=1时,3种。 当n=2时,3*2=6种。 当n>=3时,考虑第n-1个格子的颜色与第一个的关系: 情况1:第n-1个格子的颜色与第一个不同。此时,第n个格子必须与第n-1个和第一个都不同。因为第n-1和第一个颜色不同,所以第n个格子只能选择剩下的1种颜色。因此,这种情况下数目为 f(n-1) *1,其中f(n-1)是前n-1个格子满足首尾不同的数目。 情况2:第n-1个格子的颜色与第一个相同。此时,第n个格子必须与第n-1个(即第一个)颜色不同,因此有2种选择。但这种情况的数目等于前n-1个格子中首尾相同的数目,即总数目为前n-1个格子中首尾相同的数目乘以2。 但如何计算前n-1个格子中首尾相同的数目? 设s(n)为n个格子相邻不同且首尾相同的数目,则总数目为f(n) + s(n) = 3*2^{n-1}. 当n >=3时,考虑如何求s(n): 当要得到s(n),即n个格子相邻不同且首尾相同的情况,那么第n-1个颜色必须与第一个相同,并且前n-1个颜色必须满足相邻不同。因此,这相当于将前n-2个格子排列成相邻不同,且首尾与第n-1个颜色相同的条件。可能s(n)等于f(n-1) ? 或者,当n >=3时,s(n) = f(n-1) ? 这可能需要更仔细的推导。 例如,当n=3时,s(3)是首尾相同的情况数目。此时,第一个和第三个颜色相同,且相邻不同。可能的颜色组合如RGR,GRG,BRB等。但具体数目是多少? 对于n=3: 第一个颜色有3种选择,第二个有2种,第三个必须等于第一个且与第二个不同。例如: 第一个选R,第二个选G →第三个必须选R →一种情况。 第一个选R,第二个选B →第三个必须选R →另一种情况。 同样,第一个选G,第二个选R或 B →两种情况。 第一个选B,第二个选R或 G →两种情况。 总共有3 *2=6种情况?这样s(3)=6,而总数目为3*2^{2}=12种相邻不同的情况,所以f(3)=12-6=6种。 当n=3时,f(3)=6种。 当n=4时,s(4)等于前4个格子首尾相同的数目。这时,s(4)= f(3) =6? 因为当n=4时,首尾相同的情况下,前3个格子必须满足相邻不同且首尾不同,并且第四个与第三个不同且等于第一个。这可能不正确。 或者,可能s(n)= f(n-1) ? 例如,当n=3时,s(3)=f(2)=6? 但此时s(3)=6,而总相邻不同的数目是3*2^{2}=12,所以f(3)=12-6=6,这与前面一致。 当n=4时,s(4)=f(3)=6。此时,总相邻不同的数目是3*2^3=24。f(4)=24-6=18. 这符合之前的例子,当n=4时,f(4)=18. 现在,推导递推式: 当n >=3时,f(n) = (总相邻不同的数目) - s(n) =3*2^{n-1} - s(n). 而s(n)=f(n-1),因为s(n)等于前n-1个格子首尾不同的数目?或者可能s(n) = ? 可能需要重新考虑。 观察: 当n=3时,s(3)=6,而f(2)=6. 当n=4时,s(4)=6,而f(3)=6. 当n=5时,s(5)=18,而f(4)=18. 因此,可以发现,s(n) =f(n-1). 因此,递推式可以写成: f(n) =3*2^{n-1} -f(n-1) 例如,当n=3时,3*2^{2}=12 -f(2)=12-6=6 →正确。 n=4 →3*2^3=24 -f(3)=24-6=18 →正确. n=5 →3*2^4=48 -f(4)=48-18=30. 此时,递推式是f(n) = 3*2^{n-1} -f(n-1), n>=2. 初始条件: 当n=1 →3 当n=2 →6 当n>=3时,使用递推式。 例如,n=3 →3*2^{2} -6=12-6=6 →正确. n=4 →3*2^3 -6=24-6=18 →正确. n=5 →3*2^4 -18=48-18=30 →正确. 因此,正确的递推式是f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2) ? 或者不是。 例如,将递推式改写为: f(n) +f(n-1) =3*2^{n-1} 此时,当计算f(n) =3*2^{n-1} -f(n-1) 例如,对于n=3:f(3)=3*4 -6=6 n=4: 3*8 -6=18 n=5:3*16-18=30. 这似乎是一个可行的递推式。那么,代码可以基于这个递推式来实现。 因此,当用户输入n时: 如果n ==1 →3 elif n ==2 →6 else: 从n=3开始,依次计算f(3) =3*2^{2} -6=12-6=6 f(4)=3*2^3 -6=24-6=18 f(5)=3*2^4 -18=48-18=30 依此类推。 因此,代码可以写成递推的方式,或者使用递归加记忆化,但递推更高效。 例如,Python代码: n = int(input()) if n == 0: print(0) elif n ==1: print(3) else: a, b =3,6 for i in range(2, n): a, b = b, 3*(2**i) -b print(b) 测试当n=3时,输出6;n=4时,输出18;n=5时,输出30。这与公式结果一致。 不过,当n较大时,例如n=50,3*2^{n-1}会非常大,可能需要使用大整数或取模。但在原题中,可能没有取模要求,所以直接输出即可。 总结,HDOJ 2045的解题思路是使用递推式f(n) =3*2^{n-1} -f(n-1),初始条件为n=1时3,n=2时6。 现在,根据用户的问题,提供解题思路和代码实现。</think>### HDOJ 2045 解题思路 题目要求用红、绿、蓝三种颜色为$n$个排成一列的格子涂色,满足以下条件: 1. 相邻格子颜色不同; 2. 首尾格子颜色不同。 #### 递推分析 1. **基本情况**: - 当$n=1$时,只有1个格子,无需考虑首尾不同,直接有$3$种方法。 - 当$n=2$时,第一个格子有$3$种选择,第二个格子有$2$种选择,共$3 \times 2 = 6$种方法。 2. **递推关系**: 对于$n \geq 3$,设$f(n)$表示$n$个格子的合法涂色数。考虑第$n$个格子的颜色选择: - 前$n-1$个格子的首尾颜色不同(即$f(n-1)$种情况),此时第$n$个格子只能选择与第$n-1$个和第一个均不同的颜色,共$1$种选择。 - 前$n-1$个格子的首尾颜色相同(即$s(n-1) = 3 \times 2^{n-2} - f(n-1)$种情况),此时第$n$个格子有$2$种选择。 由此可得递推式: $$ f(n) = f(n-1) \times 1 + \left(3 \times 2^{n-2} - f(n-1)\right) \times 2 = 3 \times 2^{n-1} - f(n-1) $$ #### 代码实现 ```python n = int(input()) if n == 1: print(3) else: a, b = 3, 6 for i in range(2, n): a, b = b, 3 * (2 ** i) - b print(b) ``` #### 示例 - 输入`1`,输出`3` - 输入`2`,输出`6` - 输入`3`,输出`6` - 输入`4`,输出`18` ###
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