Vijos 1943-上学路上【组合数学】

上学路上的路线选择

最新推荐文章于 2019-10-26 10:30:20 发布

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探讨在一个无限大的正交网格城市中，两个角色如何选择最短路径到达各自学校且避免相遇的问题。通过组合数学方法计算可行方案的数量。

P1943上学路上

未递交

标签：安徽2015 [显示标签]

描述

小雪与小可可吵架了，他们决定以后互相再也不理对方了。尤其是，他们希望以后上学的路上不会再相遇。

我们将他们所在城市的道路网视作无限大的正交网格图，每一个整数点 (x,y) 对应了一个路口，相邻两个整数点之间有一条平行于 x 轴或平行于 y 轴的道路，其道路长度为 1。已经知道小雪家住在 (x_1,0) 处的路口附近，小可可的家住在 (x_2,0) 处的路口附近。另外我们还知道，小雪的学校在 (0,y_1) 处的路口附近，小可可的学校在 (0,y_2) 处的路口附近。其中保证 x_1 < x_2 且 y_1 < y_2。

因为上学不能迟到，所以小雪和小可可总是希望可以走最短路径去上学。同时为了避免见面，希望他们所选择的路线可以没有交点。

格式

输入格式

输入的第一行输入四个正整数，依次为 x_1, x_2, y_1, y_2，满足 x_1 < x_2 且 y_1 < y_2。

输出格式

在输出中，输出一个非负整数，表示可行方案的总数 ans 关于常数 10^9+7 取余后的值。

样例1

样例输入1[复制]

1 2 1 2

样例输出1[复制]

样例2

样例输入2[复制]

2 3 2 4

样例输出2[复制]

样例3

样例输入3[复制]

4 9 3 13

样例输出3[复制]

16886100

限制

对于30%的数据，0 < x_1,x_2,y_1,y_2<=500。
对于70%的数据，0 < x_1,x_2,y_1,y_2<=3000。
对于100%的数据，0 < x_1,x_2,y_1,y_2<=100000。

提示

对于样例一来说，一共有三种可行方案，如下图所示。

图丢了>_<

来源

AHOI 2015

首先，从 (x, 0) 到 (0, y) 的最短路，一定是只能向左走和向上走，那么用组合数算一下方案数是 C(x + y, x), 其实就是将 y 次向上走分配到 x + 1 个横坐标上有几种情况。主要考虑组合数学的计算方法。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define LL long long 
const int MaxN=200000+5,Mod = 1000000007,MN=200000;
int x,y,xx,yy;
LL Ans;
LL Fac[MaxN];
void PP()
{
	Fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=MN;i++)
	{
		Fac[i]=Fac[i-1]*(LL)i%Mod;//将阶乘的结果先保存
	}
}
LL Pow(LL a,int b)
{
	LL ret=1,f=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ret*=f;
			ret%=Mod;
		}
		b>>=1;
		f*=f;
		f%=Mod;
	}
	return ret;
}
inline LL Inv(LL x)
{
	return Pow(x,Mod-2);
}
LL C(int x,int y)
{
	return Fac[x]*Inv(Fac[y])%Mod*Inv(Fac[x-y])%Mod;
}
LL solve(int x,int y)
{
	return C(x+y,x);
}
int main()
{
	PP();
	scanf("%d%d%d%d",&x,&xx,&y,&yy);
	Ans=(solve(x,y)*solve(xx,yy)%Mod-solve(x,yy)*solve(xx,y)%Mod)%Mod;
	Ans=(Ans+Mod)%Mod;
	printf("%lld\n",Ans);
}