【Vijos-P1060】盒子-DP+组合数学

Maxwei_wzj

于 2016-08-11 18:29:50 发布

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分类专栏：数学-组合数学

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定计数问题的方法，即如何计算在一定数量盒子中放置不同颜色球体的可能方案数。通过定义状态和转移方程，解决了红球和蓝球的放置限制问题。

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做法：用f[i][j]表示在j个盒子里放i个球的方案数，边界为f[0][i]=1，状态转移方程为：f[i][j]=f[0][j-1]+f[1][j-1]+...+f[i][j-1]（为什么这样加起来？因为我们可以往第j个盒子里放i~0个球，所以往j个盒子里放i个球的方案数等于往j-1个盒子里放0~i个球的方案数之和）。对于红球蓝球的限制，就将往N个盒子里放0~A个红球的方案数之和与往N个盒子里放0~B个蓝球的方案数之和乘起来即可，这可以很容易的用组合数学解释。因此，先DP求出f，答案就是(f[0][N]+...+f[A][N])*(f[0][N]+f[B][N])。

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long f[21][21]={0},n,a,b;

int main()
{
  cin >> n >> a >> b;
  
  for(int i=0;i<=20;i++)
    f[0][i]=1;
  for(int i=1;i<=20;i++)
    for(int j=1;j<=15;j++)
      for(int k=0;k<=j;k++)
        f[j][i]+=f[j-k][i-1];
  
  long long suma=0,sumb=0;
  for(int i=0;i<=a;i++)
    suma+=f[i][n];
  for(int i=0;i<=b;i++)
    sumb+=f[i][n];
  
  cout << suma*sumb;
  
  return 0;
}