旅行商问题（华为笔试蜜蜂采蜜问题）

旅行商问题是算法中比较难的一类题目，也是比较综合的题目之一，其变种的题目也非常灵活，应用场景非常广泛，前段时间在做华为笔试题目的时候，遇到了一个与旅行商问题相关的蜜蜂飞行采花粉问题：

题目大意是：一个蜜蜂从蜂窝出发，在五朵花上采蜜之后，要飞回蜂窝，题目给出蜂巢和5朵花在二维空间中的坐标，求蜜蜂走完全程的最短路程。

这是典型的旅行商问题的应用，但是当时因为对旅行商问题不是很熟悉，为了快速写完代码，直接用了全排列（DFS）去做，但是复杂度是指数级的，6个节点还好，一旦节点变多必会出现超时情况。

旅行商问题描述：该类问题的最优解要求的是除了起始节点外，其他每个节点只能经过一次，也就是说，所有节点的入度和出度都只能是1，（旅行商问题有个特点，通常是所有节点之间都可以自由连同，因为只有每个节点至少有两个度，才能画出一个不回头的路线），画出沿途路径之后就是哈密顿图，如下所示：

 解决旅行商问题有很多种：

1、上述提到的permutation方法属于直接暴力法，这种方法在节点情况比较少的时候可以通过，但是，基本没啥技术含量，不容易出错，因此可以用它来做对数器。

2、DFS深度优先遍历也是解决该问题中比较好的方法，属于贪心算法，从一个点开始不断的遍历下去，最终找到一个最短的方案，在该题目中，复杂度是指数级的，但是可以有效处理某些点之间不通的问题，避免无效运算。

3、动态规划是我们常用到的方式，一般动态规划是从暴力方法中提取出来的，但是，该题目中动态规划的思路不是很好想，也正因为该方法不好想，所以针对动态规划来进行分析。但是所有的动态规划，其本质都是来源于暴力求解，在直观点说，dp和dfs密不可分，二者都是采用了分治策略，只是dp会对状态量进行保存，避免了重复计算，如何对DFS改写DP，请大家参考左神的课程，我觉得讲的很好。

首先，假设共有4各点，0为起始点，从0点出发，经过1、2、3点之后回到0点为一个完整过程，这个过程实际上是0 -> (1、2、3)->0，表示的是从0点出发经过1、2、3这个集合的所有点之后回到0点，实际上我们可以把过程分解为：(0->k)和((S)->0)两个过程，其中，k是（1、2、3）集合中的一个点，S是不包含k的集合，举个例子：假定k选择的是1号点，我们需要求出0->1之间的距离 d11，在求出1->（2、3）->0的最短距离 d12，总路程d1 = d11+d12。同理，假设k选择的是2号点，我们相应求出距离d2，假设k选择的是3号点，我们相应求出距离d3，然后选择d1，d2，d3中的最小值，min(d1, d2, d3)，得到最终结论，至于子过程1->(2、3)->0，也可以通过 上述方法求得结果，顺着该思路，可以直接写出DFS代码，但是，DFS代码因其不保存状态，使得有些状态量会反复参与运算，造成复杂度升高，而此方案中，dp方案依然是指数级。

有了以上的推论，我们知道，一个点（i）通过某一个集合（j）到达初始点（0）的过程可以表示为两个子过程的加和，选择点k，则 d[i][j] = c[i][k]+d[k][l]，c[i][k]表示点i到点k的距离，l表示j集合中除了k点其他点组成的集合。也就是说，当知道了集合 j 中每一个元素通过其剩下元素组成的集合后返回起始点的距离，用一个for循环在比较，求出所有方案中的最小值，即为最优解。

为了方便理解，可以将上述过程用一张dp表来表示：