逻辑运算图灵机

本文非原创，附原文链接http://www.ituring.com.cn/article/128275

一、设计进行逻辑运算的图灵机

M=（Q，Σ，Γ，δ，q0,qaccept,qreject）
其中Σ＝｛0，1，+, *, ！｝;Γ＝｛□，0，1，+，*，！｝
符号“+”、“*”“！”分别表示或、与、非逻辑运算。带子Γ的书写格式为“！x” “+xy”“*xy”，即先写运算符，后写参加运算的数。还要求运算式之间以“□□□□”间隔。下表是我们建立的图灵机状态变化表。表中的L、R表示读写头左移一格或右移一格。每个字符占用一格。运算结束后，至少要读入一个空格，再进入下一计算的开始状态。
我们设计的图灵机状态转换表如下表所示。从表中我们可以看到，这个图灵机的状态集合Q={x,y,z,z0,z1,f,f0,f1,end,erro}，其中x是初始状态，end是运算结束状态，erro是停机拒绝状态。表中symbol是读写头每次读入的内容，它与m-config一起构成了定义域元素，而经过操作行为Behaviour，其中包括移动读写头和输出（打印）数据，而转化为最终状态Final m-config。这一前一后的状态转换，形成了有序的运算操作，最终在不出现错误的情况下，得到运算的结果。注意，operations一栏P0，P1，P*分别表示读写头往当前格子上写0、1和*字符，移动R或L与它们排在一起，表明了动作，同时也标明了先后顺序。
查表基本方法，应从起始状态x开始，找输入字符symbol的那一行，经过operations的操作，得到Final m-config栏的新状态；然后再以新状态为依据，在左面的m-config栏找到它，然后进行下一次的状态变换。

m-config	symbol	operations	Final m-config
x(确定运算)	□	R	x
x	!	R	y
x	*	R	z
x	+	R	f
x	0	R,P*,R,P*,R	erro
x	1	R,P*,R,P*,R	erro
y(逻辑非)	□	R,P*,R,P*,R	erro
y	0	R,P1	end
y	1	R,P0	end
y	!	R,P*,R,P*,R	erro
y	*	R,P*,R,P*,R	erro
y	+	R,P*,R,P*,R	erro
z(逻辑与)	□	R,P*,R,P*,R	erro
z	0	R	z0
z	1	R	z1
z	!	R,P*,R,P*,R	erro
z	*	R,P*,R,P*,R	erro
z	+	R,P*,R,P*,R	erro
z0(逻辑与)	□	R,P*,R,P*,R	erro
z0	0	R,P0	end
z0	1	R,P0	end
z0	!	R,P*,R,P*,R	erro
z0	*	R,P*,R,P*,R	erro
z0	+	R,P*,R,P*,R	erro
z1(逻辑与)	□	R,P*,R,P*,R	erro
z1	0	R,P0	end
z1	1	R,P1	end
z1	!	R,P*,R,P*,R	erro
z1	*	R,P*,R,P*,R	erro
z1	+	R,P*,R,P*,R	erro
f(逻辑或)	□	R,P*,R,P*,R	erro
f	0	R	f0
f	1	R	f1
f	!	R,P*,R,P*,R	erro
f	*	R,P*,R,P*,R	erro
f	+	R,P*,R,P*,R	erro
f0(逻辑或)	□	R,P*,R,P*,R	erro
f0	0	R,P0	end
f0	1	R,P1	end
f0	!	R,P*,R,P*,R	erro
f0	*	R,P*,R,P*,R	erro
f0	+	R,P*,R,P*,R	erro
f1(逻辑或)	□	R,P*,R,P*,R	erro
f1	0	R,P1	end
f1	1	R,P1	end
f1	!	R,P*,R,P*,R	erro
f1	*	R,P*,R,P*,R	erro
f1	+	R,P*,R,P*,R	erro
end(正常结束)	□	R,L,R	x
end	0		erro
end	1		erro
end	!		erro
end	*		erro
end	+		erro
erro(错误)	□		erro
erro	0		erro
erro	1		erro
erro	!		erro
erro	*		erro
erro	+		erro

二、计算实例

如何通过这张状态转换表来进行逻辑运算？
例如，我们要计算逻辑值1和0的与运算和或运算结果。先可以在带子上安格写入：
□□□□*10□□□□+10□□□□
这里要用4个空格区分两组运算，这是设计的规定。
第一步：初始化时读写头定在最左边的位置。开始状态是x，读写头会读入的一个空格“□”，组成Q×Γ上的一组“x和 □”，向右查找，在operations栏有R，这是让读写头右移一格，移动后进入了下一个状态x。
第二步：从表上看，“x和 □”成为查找条件的得到下一个状态仍然是x的情况，要重复4次。
第三步：读写头将读到“*”，根据表中“x和*”状态的选择规定，应现将读写头右移，并决定出下一个状态“z”。
第四步：要到左边状态栏找到“z”，这时读写头会读入“1”。依据“z 和1”向右面操作栏见到“R”，这是将读写头右移一位的控制操作，并在下一个状态栏找到状态z1。
第五步：回头再到左边栏找到状态“z1”，这时读写头将读到“0”。这要依据“z1和0”一行的操作“R，P0”现将读写头右移一位，然后在空格位置写上“0”，并进入到“end”状态。
第六步：左面的“end”状态若有读写头读进空格，则依“end和□”行，可见到操作项是“R,L,R”，这是晃动读写头，表示运算结束，前面写出的“0”就是1和0做与运算的结果。此次变换得到的状态是x。
第七步：End状态并不是停机状态，从转换的新状态x开始，又返回到图灵机开始运行的状态，进入了下一个运算过程。
以上七步是进行逻辑与运算的过程。逻辑或运算的过程步基本相同。逻辑非运算因为只有一个数参加运算，故步骤少一些。
从这个逻辑运算的图灵机来看，停机和拒绝是一个概念，而图灵机的接受概念与计算得到结果，或计算完成是同一概念。
此图灵机对拒绝的问题采用连续输出两个星号表示。具体是：如果读写头读入的是的数据和状态组成的二元组找不到下一个状态，那么会连续打印出“**”，表明带子上的输入有误，并且会进入“erro”状态，拒绝继续执行，同时停机。