机器学习-正则化

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1. 正则化

它可以改善或者减少过度拟合问题

2. 欠拟合(模型的高偏差)

欠拟合是指模型拟合程度不高，数据距离拟合曲线较远，或者模型没有很好地捕捉到数据特征，不能够很好地拟合数据。

3. 过拟合(模型的高方差)

为什么出现过拟合

1. 特征过多
2. 训练集数据较少
3. 模型复杂

对过拟合的理解

如果我们拟合一个高阶多项式，那么这个函数能很好的拟合训练集能拟合几乎所有的训练数据，这就面临可能函数太过庞大的问题，即变量太多。同时如果我们没有足够的数据去约束这个变量过多的模型，就会出现过度拟合的情况。虽然训练出的模型能够很好的拟合训练集的样本数据，但很有可能无法泛化新样本。

如何解决过拟合

• 尽量减少选取特征数量。

  后面会学到模型选择算法 ，它能够自动选择采用哪些特征变量，且自动舍弃不需要的变量

• 正则化

  保留所有特征变量，但是减少参数${\theta }_j$的大小

4. 怎么应用正则化

思想与做法

修改代价函数，从而收缩(惩罚)所有的参数值，因为我们并不知道具体的去收缩(惩罚)哪些参数，

修改后的代价函数如下：
$$J\left(\theta \right)=\frac{1}{2m}[\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j^2]$$
$\lambda$又称为正则化参数（Regularization Parameter），它能够平衡代价函数，使${\theta }_j$尽可能的小。

注：根据惯例，我们的$j$是从1开始的，也就是我们不对${\theta }_0$ 进行惩罚。

举一个例子

我们看这个假设函数: $h_{\theta }\left(x\right)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2^2+{\theta }_3{x}_3^3+{\theta }_4{x}_4^4$ 。**通常地，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。**于是我们将修改代价函数，在其中${\theta }_3$和${\theta }_4$ 设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的${\theta }_3$和${\theta }_4$。修改后如下 :
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{2m}[\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)}^2+1000{\theta }_3^2+10000{\theta }_4^2]$$
但是正是因为我们并不知道具体的哪一个$\theta$是高次项，因此我们只能去收缩(惩罚)所有参数。

但是

如果我们令 $\lambda$ 的值很大的话，那么$\theta$（不包括${\theta }_0$）都会趋近于0，这样我们所得到的只能是一条平行于$x$轴的直线。所以对于正则化，我们要取一个合理的 $\lambda$ 的值，这样才能更好的应用正则化。

5. 正则化线性回归

正则化代价函数

$$J\left(\theta \right)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{[((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j^2)]$$

正则化梯度下降

要使梯度下降法令正则化后的线性回归代价函数最小化，因为我们没有对${\theta }_0$进行正则化，所以梯度下降算法有两种情形：
$${\theta }_0:={\theta }_0-a\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)})$$

$${\theta }_j:={\theta }_j-a[\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{\left(i\right)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$$

对第二个式子进行变化后，可得:
$${\theta }_j:={\theta }_j(1-a\frac{\lambda }{m})-a\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{\left(i\right)}$$
可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令$\theta$值减少了一个额外的值。

PS：梯度下降仍然是对$J(\theta )$进行最小化，通过求导，得出梯度下降算法

正则化正规方程

注：图中的矩阵尺寸为 $(n+1)\ast (n+1)$。

值得一提的是，哪怕此时$X$不可逆，经过$\lambda$相加变化后的矩阵将是可逆的。

6. 正则化逻辑回归

正则化代价函数

$$J\left(\theta \right)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[-y^{(i)}\log \left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)-\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

​ ps：注意这里$\lambda$的仍为$\frac{1}{2m}$

正则化梯度下降

类似地，因为我们没有对${\theta }_0$进行正则化，所以梯度下降算法有两种情形：
$${\theta }_0:={\theta }_0-a\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)})$$

$${\theta }_j:={\theta }_j-a[\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{\left(i\right)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$$

看起来和线性回归的一模一样，实际上我们知道这里 $h_{\theta }\left(x\right)=g\left({\theta }^{T}X\right)$，所以与线性回归不同。

PS：值得注意的是，${\theta }_0$仍然不参与其中的任何一个正则化。

注:

泛化能力（generalization ability）

泛化能力是指机器学习算法对新鲜样本的适应能力。学习的目的是学到隐含在数据背后的规律，对具有同一规律的学习集以外的数据，经过训练的模型也能给出合适的输出，该能力称为泛化能力。