抽签问题

一、普通抽签问题

将写有数字的n个纸片放入口袋中，抽取四次纸片，每次记下纸片上的数字后将其放回。如果这四次的数字和是m,就是你赢，否则就是对方赢。你挑战了好几回，一次都没有赢过，于是怒而撕破口袋，取出所有的纸片，检查自己是否真的有赢的可能性。请你编写一个程序，判断当纸片上写的数字是K1,K2,.......,kn时，是否存在抽取4次和为m的方案。如果存在输出Yes,否则输出No。

限制条件：

1<=n<=50;

1<=m<=10^8;

1<=ki<=10^8;

输入示例：n=3

                m=10

                k[]=1  3  5

输出： Yes

#include<iostream>
#define MAX_N 50
#define MAX_M 100000000
using namespace std;


int n,m,k[50];


int main(){
     cout<<"n=";
	 cin>>n;
	 cout<<"m=";
	 cin>>m;
	 
	 if(!(n>=1 && n<=MAX_N && m>=1 && m<=MAX_M)){
	 	cout<<"输入不合法";
		 return 0; 
	 }
	 
	 cout<<"k[]=";
	 for(int i=0;i<n;i++){
	 	cin>>k[i];
	 }
	
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			for(int x=0;x<n;x++){
				for(int y=0;y<n;y++){
					if(k[i]+k[j]+k[x]+k[y]==m){
						cout<<"yes";
						return 0;
					}	
				}
				
			}
		}
	}
	cout<<"No";
	return 0;
}

 

二、增加难度的抽签问题

 

如将上面的抽签问题中关于n的限制条件改为1<=n<=1000，那么应该如何求解？上面的的算法中采用四重循环O(n^4)，当n=1000时，带入1000⁴=10¹²，所以此时不宜使用四重循环方法，必须改进算法。

 1、二分搜索算法与O(n³logn)算法

Ka+Kb+Kc+Kd=m,改为检查数组中是否有d=m=Ka-Kb-Kc; 那么可以将原本是四重循环中的第四层变成二分查找。二分查找的时间复杂度为O(logn)，所以整体时间复杂度为O(n³logn)。

修改后的代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX_N 50
#define MAX_M 100000000
using namespace std;


int n,m,k[50];

bool binary_search(int x){
	int low=0,high=n-1;
	while(low<=high){
		int mid=(low+high)/2;
		if(k[mid]==x){
			return true; 
		}else if(k[mid]>x){
			high=mid-1;
		}else{
			low=mid+1;
		}
	}
	return false;
}

int main(){
     cout<<"n=";
	 cin>>n;
	 cout<<"m=";
	 cin>>m;
	 
	 if(!(n>=1 && n<=MAX_N && m>=1 && m<=MAX_M)){
	 	cout<<"输入不合法";
		 return 0; 
	 }
	 
	 cout<<"k[]=";
	 for(int i=0;i<n;i++){
	 	cin>>k[i];
	 }
	 
	 sort(k,k+n); // sort函数头文件<algorithm> 
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			for(int x=0;x<n;x++){
				int d=m-i-j-x;
				if(binary_search(d)){
			                cout<<"Yes";   
					return 0;
				}
			}
		}
	}
	cout<<"No";
	return 0;
}

 

 

2.O(n²logn)的算法

 

 

上述算法虽然比原始算法好，但是依然有较大的时间复杂度，所以我考虑进一步优化算法。这次我们更进一步，再去一层循环：

    检查是否有c和d使得：Kc+Kd=m-Ka-Kb;

这种情况下，我们可以将Kc+Kd的所以可能结果组成一个有序数组，然后再用二分查找来查找。

排序O(n²logn）时间；循环O(n²logn)时间，所以总体时间复杂为O(n²logn)+O(n²logn)=O(n²logn)。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX_N 50
#define MAX_M 100000000
using namespace std;


int n,m,k[50];
int cd[MAX_N*MAX_N] ;//用来保存c+d的和 

bool binary_search(int x){
	int low=0,high=n*n-1;
	while(low<=high){
		int mid=(low+high)/2;
		if(cd[mid]==x){
			return true; 
		}else if(cd[mid]>x){
			high=mid-1;
		}else{
			low=mid+1;
		}
	}
	return false;
}


int main(){
     cout<<"n=";
	 cin>>n;
	 cout<<"m=";
	 cin>>m;
	 
	 if(!(n>=1 && n<=MAX_N && m>=1 && m<=MAX_M)){
	 	cout<<"输入不合法";
		 return 0; 
	 }
	 
	 cout<<"k[]=";
	 for(int i=0;i<n;i++){
	 	cin>>k[i];
	 }
	 
	 //列出c+d的所以情况
	 for(int i=0;i<n;i++){
	 	for(int j=0;j<n;j++){
	 		cd[i*j+j]=k[i]+k[j];
	 	}
	 } 
	 
	 //排序 
	sort(cd,cd+n*n); // sort函数头文件<algorithm> 
	
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			int d=m-i-j;
			if(binary_search(d)){
		      	cout<<"Yes";
				return 0;
			}
		}
	}
	cout<<"No";
	return 0;
}

注：binary_search函数可以使用STL来实现。