数字信号处理基本概念

离散时间信号

连续和离散指的是定义域，信号的值域可以是连续的也可以是不连续的。模拟信号是连续信号的一个子集，数字信号是离散信号的一个子集。

典型信号

单位冲激信号是单位阶跃信号的一次差分。
脉冲信号也称矩形信号，窗内有值。
数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率:
$$\omega =2\pi f{T}_s=2\pi f/f_s=\Omega T_s=\Omega /f_s.$$
信号移位，左加右减，$y(n)=x(n-1)$ 即单位时延

信号的频域描述

频谱即为信号的傅里叶变换
离散信号$x(n)$的DTFT用数学公式表述为
$$X(e^{jw})=DTFT[x(n)]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-jwn}$$
这是个周期信号，时域的采样等效于频域的周期延拓

LTI系统的分析

单位冲激响应，对于任意一个离散信号$x(n)$，在$k$时刻可以写成
$$x(k)=x(n)\delta (n-k)$$
实际上就是将信号在$n=k$处的单个值$x(k)$挑出来，因此，重复这样的操作可得
$$x(n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(m)\delta (n-m)$$
对于LTI系统，如果知道了系统对单位冲激信号$\delta$的输出，可得
$$\begin{array}{rl}y(n)& =T[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(m)\delta (n-m)]\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(m)T[\delta (n-m)]\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(m)h(n-m)\end{array}$$

对信号和系统进行频率分析的工具是傅里叶变换。对信号的频率分析有时也称为频谱计算，对系统的频率分析也称为频率响应。
LTI系统具有频率不变性的特点。
单位冲激信号的频谱，在所有频率上都为1，对系统输入一个单位冲激信号，就相当于对系统输入所有频率的复正弦信号。也就是说单位冲激响应表征了系统对所有频率的响应。

Z变换的定义：$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$，$z$为复变量。现实中一般处理的信号为因果信号，只需单边$z$变换
传递函数：

1. LTI系统的单位冲激响应的$Z$变换$H(z)=Z[h(n)]$
2. $Y(z)=X(z)H(z)$
3. 利用$Z$变换也可以从差分方程得到系统的传递函数

最小相位系统是所有零极点都在单位圆内的系统
极点往往与系统稳定性联系在一起，极点则往往与系统的延时特性联系在一起。