一道莫比乌斯反演好题

前言

由于我昨天在旅游，没能及时更新博客，在这里想大家致歉。

题目描述

有$n$个正整数$X_1,X_2\dots X_n$，每个数字有一个状态，选中或者未选中，一开始所有的数都没有选中。

有$m$个操作，每个操作给定一个编号$i$，将$X_i$的选取状态取反。

每次操作后，计算选取的数中有多少个互质的无序数对。

数据范围

20%的数据，$n\le 1000$，$m\le 1000$

另外30%的数据，$X_i\le 100$

100%的数据，$n\le 200000$，$m\le 200000$，$X_i\le 500000$，$1\le i\le n$

题解

莫比乌斯反演。

设$f(i)$为$\gcd =i$的数对，$g(i)$为$\gcd$是$i$倍数的数对，$h(i)$为是$i$倍数的个数，

则$g(i)=\frac{h(i)(h(i)-1)}{2}$（显然只有两个数都是$i$的倍数，它们的$\gcd$才是$i$的倍数）

而且$g(i)={\sum }_{i\mid d}f(d)$

由第二类莫比乌斯反演得$f(i)={\sum }_{i\mid d}\mu (\frac{d}{i})g(d)$

所以$f(1)={\sum }_i\mu (i)g(i)$

所以每次修改时用$\sqrt{X}$的复杂度修改$X$约数的$h$值，然后修改相关的$g$并修改$f(1)$即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500005;
#define ll long long
int n,m,x[N],y[N],a[N],u[N],p[N],tot,v[N];
ll ans;
void doo(int o,int p){
    if(p)ans+=u[o]*(a[o]++);
    else ans-=u[o]*(--a[o]);
}
int main(){
    u[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!v[i])p[++tot]=i,u[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;j++){
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;u[i*p[j]]=-u[i];
        }
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x[i]);
    while(m--){
        int o,opt=1;scanf("%d",&o);
        if(y[o])opt=0;y[o]^=1;
        int s=sqrt(x[o]);
        for(int i=1;i<=s;i++)if(x[o]%i==0){doo(i,opt);if(i!=x[o]/i)doo(x[o]/i,opt);}
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}