图形流水线中坐标变换详解：模型矩阵、视角矩阵、投影矩阵

本文重点介绍图形流水线中出现的各种坐标系，以及实现在这些坐标系之间转换的数学知识。希望能方便大家更加深入了解图形学基础，更好的学习图形学。如果文章中有错误也请大家积极指正。文章的主要参考来源有：
1.Scratchapixel 2.0：Rendering an Image of a 3D Scene: an Overview
2.Scratchapixel 2.0：Computing the Pixel Coordinates of a 3D Point
3.深入探索透视投影变换

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图形流水线中坐标变换过程

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模型矩阵：模型局部坐标系和世界坐标系之间的桥梁

1.模型局部坐标系存在的意义

简单用一句话来说：方便建模人员。如果把“经纬度和高程”比作世界坐标系，那么“北京市海淀区学院路37号”就是模型局部坐标系下的一个坐标，而这个模型局部坐标系可以是“北京市”，也可以是“北京市海淀区”，甚至可以是“北京市海淀区学院路”。我们在CG中展现的各种各样物体是很多建模人员努力的结果，我们无法规定一个统一的坐标系，让所有物体都在这个坐标系上建模(一方面是考虑到单位精度，二是在模型局部坐标系下能更方便的描述模型的具体位置)。因此一般模型默认都是在模型坐标系下。

2.根据模型局部坐标系中点求其在世界坐标系中的坐标(Model_to_Wrold) or 根据世界坐标系的点求其在模型坐标系中的坐标(Wrold_to_Model)

那么如何从模型坐标系变换到世界坐标系呢，我们先给出一些默认参数，以及一些矩阵知识：

• CG中世界坐标系三个基底分别为e1(1,0,0), e2(0,1,0), e3(0,0,1)，坐标系原点为O (0,0,0)
• 坐标系的矩阵表示法(行主序，以世界坐标系为例)：
  
• 不同坐标系下坐标点相互转换满足：
  P₁ * M₁ = P₂ * M₂
  其中 M₁为坐标系1的矩阵表示，P₁为点P在坐标系1下的坐标表示；M₂为坐标系2的矩阵表示，P₂为点P在坐标系2下的坐标表示

根据上述，我们就可以求得模型局部点在世界坐标系下的表示。
假设世界坐标系矩阵表示为M_world
模型坐标系矩阵表示为M_model
模型上点在世界坐标系下的表示为P_world
模型上点在模型坐标系下的表示为P_model
则有：
P_world * M_worldCoord = P_model * M_modelCoord
P_world = P_model * M_modelCoord * M^-1_worldCoord
由世界坐标系的特点知：M_worldCoord