[USACO08NOV]奶牛混合起来Mixed Up Cows --- 建图 + 状压dp

最新推荐文章于 2024-03-21 20:13:32 发布

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本文解析了洛谷P2915题目的算法解决方案，通过判断奶牛编号差值是否超过设定阈值来确定混乱队伍的形成条件。采用状态压缩动态规划方法，将问题转化为寻找哈密顿路径的数量，详细介绍了状态转移方程及代码实现。

传送门：洛谷P2915

题目大意
约翰家有 $N$ 头奶牛，第 $i$ 头奶牛的编号是 $S_i$ ，每头奶牛的编号都是唯一的。这些奶牛最近在闹脾气，为表达不满的情绪，她们在挤奶的时候一定要排成混乱的队伍。在一只混乱的队伍中，相邻奶牛的编号之差均超过 $K$ 。比如当 $K = 1$ 时， $1, 3, 5, 2, 6, 4$ 就是一支混乱的队伍，而 $1, 3, 6, 5, 2, 4$ 不是，因为 $6$ 和 $5$ 只差 $1$ 。请数一数，有多少种队形是混乱的呢？

分析

第一步判断哪些点可以相邻，这个应该都想得到吧。因此，可以考虑将相邻点连边来跑图，于是问题成了找哈密顿路的条数。直接状压即可。
令 $f [s] [u]$ 表示图上走过的点集为 $s$ ，走到点 $u$ 的方案数。
初始化： $\in [0, n)$
转移： $\sum_{v \notin s} f[s | 1 << v][v]$
答案： $\sum_{i = 0} ^ {n - 1} f[(1 << n) - 1][i]$

代码


```#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

#define IL inline

using namespace std;

IL int read()
{
    char c = getchar();
    int sum = 0 ,k = 1;
    for(;'0' > c || c > '9'; c = getchar())
        if(c == '-') k = -1;
    for(;'0' <= c && c <= '9'; c = getchar()) sum = sum * 10 + c - '0';
    return sum * k;
}

typedef long long ll;

int n, m;
int num[20];

int to[600], nxt[600];
int cnt, last[20];
IL void add(int u, int v)
{
    to[++cnt] = v; nxt[cnt] = last[u]; last[u] = cnt;
}

IL int abs_(int x) { return x < 0 ? -x : x; }
IL int lowbit(int x) { return x & (-x); }

ll f[65540][17];
int power[17];
int lg[65540];

int main()
{
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    	num[i] = read();
    	for(int j = 1; j < i; ++j)
    	if(abs_(num[i] - num[j]) > m)
    	{
    		add(i, j); 
    		add(j, i);
    	}
    }
    
    power[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    	power[i] = power[i - 1] << 1;
    	lg[power[i]] = i;
    	f[power[i - 1]][i - 1] = 1;
    }
    
    ll ans = 0;
    for(int s = 1; s < power[n]; ++s)
    for(int x = s, k, u; x; x -= k)
    {
        k = lowbit(x);
        u = lg[k];
        if(!f[s][u]) continue;
        
        if(s + 1 == power[n]) ans += f[s][u]; else
        for(int i = last[u + 1], v; i; i = nxt[i])
        if(!(s & power[(v = to[i] - 1)]))
            f[s | power[v]][v] += f[s][u];
        
    }
    printf("%lld\n", ans);
    
    
    return 0;
}