算法第二周 C : 数的计算

啊轰同学

于 2023-03-15 11:09:10 发布

阅读量113

点赞数

分类专栏：算法设计与分析文章标签：算法动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_26952443/article/details/129547670

版权

算法设计与分析专栏收录该内容

11 篇文章

订阅专栏

文章讨论了一个基于特定规则构造序列的问题，规则是每次在序列首元素左侧插入不超过其一半的正整数。通过递归和动态规划的方法，可以计算出给定初始值n时能构造的不同序列数量。例如，当n=6时，可以得到6种不同的序列。解决方案涉及建立状态转移方程dp[n]=1+dp[1]+dp[2]+...+dp[n/2]来求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定一个初始序列，序列中仅包含一个元素 n(1≤n≤1000)。重复以下步骤：

不做任何处理；
在序列的最左边插入一个正整数，但是这个正整数不能超过序列当前首元素的一半；

请问通过这样的规则，可以构造出多少个不同的序列。

Input

1 个正整数 n ( n ≤ 1000 )

Output

1 个整数，表示能够生成的序列个数。

Sample Input
6
Sample Output
6
Hint

当n=6，满足条件的序列为

{6},

{1, 6},

{2, 6},

{1, 2, 6},

{3, 6},

{1, 3, 6}

方法：递归

举一个例子：

当n=6，满足条件的序列为{6},{1, 6},{2, 6},{1, 2, 6},{3, 6},{1, 3, 6}

在6的左边，第一次添加的数字可以是1、2、3 (即1->n/2）

将第一次添加的数字i以及后续的数字视为一组：dp[i]

如dp[1]包括：{1,6}

dp[2] 包括：{2,6}、{1,2,6}

dp[3]包括：{3,6}、{1,3,6}

则dp[6]=dp[1]+dp[2]+dp[3]+1，进而得到状态转移方程

dp[n]=1+dp[1]+dp[2]+dp[3]...+dp[n/2]

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    //ans=1+dp[1]+dp[2]+dp[3]+...dp[n/2]
    int dp[10000];
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 1;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
    {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= i / 2; j++)
        {
            dp[i] += dp[j];
        }
        ans += dp[i];
    }
    cout << ans;
}