【高等数学&学习记录】函数的微分

一、知识点

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（一）微分的定义

• 设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在这区间内，如果增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta )-f(x_0)$ 可表示为 $\Delta y=A\Delta +o(\Delta )$，其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$，即 $dy=A\Delta x$.

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（二）微分的几何意义

• 在直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 的图形是一条曲线.

• 对于某一固定的 $x_0$ 值，曲线上有一个确定点 $M(x_0,y_0)$，当自变量 $x$ 有微小增量 $\Delta x$ 时，就得到曲线上另一点 $N(x_0+\Delta ,y_0+\Delta y)$.

• 从图可知：$MQ=\Delta x$、$QN=\Delta y$.

• 过点 $M$ 作曲线的切线 $MT$，它的倾角为 $\alpha$，则 $QP=MQ\cdot tan\alpha =\Delta x\cdot f^{\prime }(x_0)$，即 $dy=QP$.
  

• 可见，对于可微函数 $y=f(x)$ 而言，当 $\Delta y$ 是曲线 $y=f(x)$ 上的点的纵坐标增量时，$dy$ 就是曲线切线上点的纵坐标的相应增量。

• 当 $|\Delta x|$ 很小时，$|\Delta y-dy|$ 比 $|\Delta x|$ 小得多.

• 因此，在点 $M$ 的邻近，可以用切线段近似代替曲线段；在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数.

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（三）基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1. 基本初等函数的微分公式

导数公式	微分公式
$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$	$d(x^n)=n{x}^{n-1}dx$
$(sinx{)}^{\prime }=cosx$	$d(sinx)=cosxdx$
$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$	$d(cosx)=-sinxdx$
$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$	$d(tanx)=se{c}^{2}xdx$
$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$	$d(cotx)=-cs{c}^{2}xdx$
$(secx{)}^{\prime }=secx\cdot tanx$	$d(secx)=secx\cdot tanxdx$
$(cscx{)}^{\prime }=-cscx\cdot cotx$	$d(cscx)=-cscx\cdot cotxdx$
$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$	$d(a^x)=a^x\cdot lnadx$
$(e^x{)}^{\prime }=e^x$	$d(e^x)=e^{x}dx$
$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$	$d(lo{g}_{a}x)=\frac{1}{x\cdot lna}dx$
$(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$	$d(lnx)=\frac{1}{x}dx$
$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$d(arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$