EbN0、SNR换算及误码率公式的理论推导计算

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前言

事情的起因源自学长给的MQAM误码率理论曲线，其中有2种曲线，Fig.1 中仿真曲线与理论曲线重合，Fig.2 中在低EbN0的时候出现了不贴合的现象，这让我非常疑惑，于是查找了理论公式的原始推导，网上的命名与定各种各样，非常容易让人混淆，于是在此重新整理出几种理论误码率推导的方法。

Fig.1. BER vs. EbN0 @MQAM Sim,Approx_Theory

Fig.2. BER vs. EbN0 @MQAM Sim,Theory_2

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一、EbN0 、SNR的转换

在下面理论推导中需要用到Es和Eb的转换，先把转换公式列出。
$$\begin{gathered} E_s=E_b\times lo{g}_2(M) \\ SNR=\frac{E_s}{N_0}=\frac{E_b}{N_0}\times \frac{BitRate}{BaudRate} \\ SNR\_dB=10lo{g}_{10}\frac{Eb}{N_0}+10lo{g}_{10}\frac{BitRate}{BaudRate}=EbN0\_dB+10lo{g}_{10}(M) \end{gathered}$$
实际应用中要分清

二、理论公式推导

本文推导前提是AWGN信道

1.第一种MQAM的近似公式

这里直接给出第一种理论公式，这种公式的推导比较复杂，这里不作具体研究。
$$P_{\mathrm{b}}\approx \frac{2}{lo{g}_{2}M}\cdot \left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)\cdot erfc\left(\sqrt{\frac{3SNR}{2(M-1)}}\right)$$
特例是，当M=2或4，也就是BPSK和QPSK的情况，上式可以取等号，也就是说此时不是近似公式，而恰好是理想公式。

2.第二种MQAM的近似公式

2.1 BPSK的公式推导

Fig.3. BPSK 高斯噪声分布函数

单个符号错误概率，例如S0误码为S1的概率为
$$\begin{array}{rl}{P}_{S0}=P(n\ge \frac{d}{2})& ={\int }_{\frac{d}{2}}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{n^2}{2{\sigma }^2}}dn\\ & ={\int }_{\frac{d}{2\sigma }}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-t^2}{2}}dt(\frac{n}{\sigma }=t,dn=\sigma dt)\\ & =Q(\frac{d}{2\sigma })\end{array}$$
其中, Q为高斯错误概率函数, 满足等式
$$Q\left(x\right)=\frac{1}{2}erfc\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$$
符号的平均能量, 也就是星座图的平均功率Es
$$E_s=\frac{1}{2}((\frac{d}{2}{)}^2+(\frac{d}{2}{)}^2)=\frac{d^2}{4}$$
推得
$$d=2\sqrt{E_s}$$
用概率权重求整体误符号率Ps
$$P_S=\frac{1}{2}{P}_{S0}+\frac{1}{2}{P}_{S1}=Q\left(\frac{d}{2\sigma }\right)$$
BPSK一个符号对应一个Bit，所以
$$P_b=P_S=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}$$

2.2 QPSK的公式推导

Fig.4. QPSK 星座图

与BPSK类似
P S i i ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } = 2 P ( n ≥ d / 2 ) − P 2 ( n ≥ d / 2 ) = 2 Q ( d 2 σ ) − Q 2 ( d 2 σ ) \underset{i\in \left\{ 0,1,2,3 \right\}}{P_{S_i}}=2P(n\ge d/2)-P^2(n\ge d/2)=2Q(\frac{d}{2\sigma})-Q^2(\frac{d}{2\sigma}) i∈{0,1,2,3}PSi​​​=2P(n≥d/2)−P2(n≥d/2)=2Q(2σd​)−Q2(2σd​)
$$E_s=\frac{1}{4}\times 4\times {\left(\frac{\sqrt{2}d}{2}\right)}^2=\frac{d^2}{2}$$
$$d=\sqrt{2E_s}$$
$$P_S=2Q(\frac{d}{2\sigma })-Q^2(\frac{d}{2\sigma })$$
$$P_S=erfc\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}-\frac{1}{4}erf{c}^2\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}$$
到这里，前面都与BPSK类似，但是对于二维的信号，Ps与Pb满足下式，该式其实是定义是，是最准确的公式
$$P_s=1-(1-P_b{)}^N$$
其中$$N={\log }_{2}M$$
该式泰勒展开,在Pb足够小时，展开到一次项,得到近似关系
$$P_s=P_b{\log }_{2}M$$
于是QPSK的误码率可以推到
$$P_b=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}-\frac{1}{8}erf{c}^2\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}$$

2.3 几种推导方式的关系论述

首先从前面的定义式反推出
$$P_b=1-\sqrt[N]{1-P_s}$$
这是最准确的关系式，如果在仿真中使用足够长的序列，最后的性能曲线会趋近于该式算出的结果。下表是前面提到的3种理论BER计算方式，Sim代表定义式，也就是仿真所趋近的实际值，Theory-1是2.1节提出的近似式，Theory-2是在2.2节推导出的式子，16QAM不做详细推导，具体可以参考： M-QAM的SER/BER/误码率计算

三个方式的关系为，Sim是最准确的公式表达，Theory-1是通过积分推导得到的近似公式，Theory-2是泰勒展开得到，但弊端是在高信噪比的时候才更加准确，否则需要展开出更多项来逼近真实值。

三. 仿真结果

仿真代码链接：https://download.youkuaiyun.com/download/qq_26157161/88886758