Cogs_动态排名系统[整体二分]

动态排名系统

单点修改，查询区间第k小

整体二分

整体二分其实就是二分的进化版本

---

先看这类题的简化版

查询[x, y] 第k小

先二分一个答案 mid
记[1,y]中比 $mid$ 小的有 $cnt_1$ 个
[1,x-1]中比 $mid$ 小的有 $cnt_2$ 个

若$cnt_1-cnt_2\ge k$ 说明答案一定比 mid 小或等于
若$cnt_1-cnt_2\lt k$ 说明答案一定比 mid 大

回到本题

对于一坨询问，我们同样可以用这样的方法
就是对询问分一下类

哪些询问的答案一定小于等于 mid， 那些询问的答案一定大于 mid

再把它们分别放到 [l, mid] 和 [mid+1, r] 中继续分类找答案
整体二分嘛，整体进行二分

---

接着考虑一些细节

怎么快速统计出$cnt_1 和 cnt_2$ 呢， 还有修改怎么办？

• 树状数组

• 将修改变为：先删掉原先的值，再加入新的值

  遇到小于等于mid的数，对应下标++，这样可以快速统计任意区间（差分）
  删除只需把“++”变成“- -”，减掉原来的数，加入新数 同上

---

冗长代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define File(x) "dynrank."#x
#define For(i,s,e) for(int i=(s); i<=(e); i++)
#define Rep(i,s,e) for(int i=(s); i>=(e); i--)
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;

const int N=50000+15,M=50000+15,inf=1e9;
struct Node{
    int type,d,x,y,k,id;
};

Node a[N+M],b[N+M],c[N+M];
int D,n,m,val[N],totx,tot,ans[N];

int bit[N];
void Modify(int p, int dx){
    while(p<=n){
        bit[p]+=dx; p+=lowbit(p);
    }
}
int query(int p){
    int ans=0;
    while(p){
        ans+=bit[p]; p-=lowbit(p); 
    }
    return ans;
}

void Divide(int l, int r, int L, int R){
    if(l>r) return;
    if(L==R){
        For(i,l,r){
            if(a[i].type==2) ans[a[i].id]=L;
        }
        return;
    }

    int mid=(L+R)>>1, p1=0, p2=0;

    For(i,l,r){
        if(a[i].type==2){
            int ex=query(a[i].y)-query(a[i].x-1);
            if(ex>=a[i].k) b[p1++]=a[i];
            else{
                a[i].k-=ex;
                c[p2++]=a[i];
            }
        } else {
            if(a[i].x<=mid){
                Modify(a[i].y,a[i].d);
                b[p1++]=a[i];
            } else {
                c[p2++]=a[i];
            }
        }
    }

    For(i,0,p1-1) if(b[i].type==1) Modify(b[i].y, -b[i].d);

    memcpy(a+l, b, p1 * sizeof(Node));
    memcpy(a+l+p1, c, p2 * sizeof(Node));

    Divide(l,l+p1-1,L,mid);//分类处理
    Divide(l+p1,r,mid+1,R);
}

int main()
{
    freopen(File(in),"r",stdin);
    freopen(File(out),"w",stdout);

    scanf("%d",&D);
    while(D--){
        scanf("%d%d",&n,&m);

        totx=tot=0;

        For(i,1,n){
            scanf("%d",&val[i]);
            a[++tot]=(Node){1,1,val[i],i,0,0};
        }
        For(i,1,m){
            char opt;
            int _x,_y,_k;//int type,d,x,y,k,id;

            while(opt=getchar(),opt!='Q' && opt!='C');

            if(opt=='Q'){
                totx++;
                scanf("%d%d%d",&_x,&_y,&_k);
                a[++tot]=(Node){2,0,_x,_y,_k,totx};
            } else {
                scanf("%d%d",&_x,&_y);
                a[++tot]=(Node){1,-1,val[_x],_x,0,0};
                val[_x]=_y;//val记录最新的修改
                a[++tot]=(Node){1,1,val[_x],_x,0,0};
                //将修改操作拆开
            }
        }

        Divide(1,tot,0,inf);

        For(i,1,totx) printf("%d\n",ans[i]);
    }


    return 0;
}