剑指offer 面试题14

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m].请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.

思路：定义函数f(n)为长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀的时候，我们有n-1种可能的选择，也就是剪出来的第一段绳子的长度分别为1,2...n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i))，其中0<i<n。这是一个从上至下的递归公式，递归会有很多重复的子问题。我们可以从下而上的顺序计算，也就是说我们先得到f(2)，f(3)，再得到f(4)，f(5)，直到得到f(n)

代码：

public class Solution {

    public int maxNumAfterCutting(int n) {
        if (n < 2)
            return 0;
        // 绳子长度为2时，只能剪成1和1
        if (n == 2)
            return 1;
        // 只可能为长度为1和2的2段或者长度都为1的三段，最大值为2
        if (n == 3)
            return 2;
        // 当长度大于3时，长度为3的段的最大值时3
        int product[] = new int[n+1];
        product[0] = 0;
        product[1] = 1;
        product[2] = 2;
        product[3] = 3;
        int max = 0;
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            max = 0;
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                int sum = product[j] * product[i - j];
                if (sum > max) {
                    max = sum;
                    product[i] = max;
                }
            }
        }
        return product[n];
    }

}