栈：矩阵的压缩存储

最新推荐文章于 2024-04-14 16:00:00 发布

黑夜之星

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分类专栏：数据结构文章标签：栈

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概念：

科学与工程计算有一个特殊的数学对象，那就是矩阵。如何将矩阵中的各个元素存储在计算机中，数组就是一个很好的选择。我们通常会遇到三种类型的矩阵：

普通矩阵
特殊矩阵：对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等
稀疏矩阵

特殊

特殊矩阵和稀疏矩阵压缩存储的目的是节省存储空间。矩阵的下标是从1开始，而将改矩阵压缩成内存中的一维空间时，与该一维空间所对应的数组下标是从0开始。

1. 对称矩阵:

$\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3j} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} \end{matrix} \right]$

性质：

在n阶矩阵A中的元素满足： $a_{ij}$ = $a_{ji}$ ( 1≤ i , j≤n );
压缩策略：只存储上三角或下三角的元素。所需空间 $\frac{n(n+1)}{2}$
一维数组sa[ $\frac{n(n+1)}{2}$ ] 存储以行序为主序的下三角（包括对角线），其地址的运算，即 $a_{ij}$ 和sa[k] 之间存在如下对应关系：
$k = \begin{cases} \frac{i(i-1)}{2} + j - 1, & \text{i ≥ j，对角线元素和下三角元素} \\[2ex] \frac{j(j-1)}{2} + i - 1, & \text{i < j，上三角元素} \end{cases}$

2. 上三角与下三角矩阵:

上三角矩阵： $\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} \\ m & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} \\ m & m & a_{33} & \cdots & a_{3j} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m& m & m & \cdots & a_{ij} \end{matrix} \right]$

下三角矩阵： $\left[ \begin{matrix} a_{11} & m & m & \cdots &m \\ a_{21} & a_{22} & m & \cdots &m \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & m \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} \end{matrix} \right]$

3. 对称矩阵:

$\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & a_{34} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} &a_{45} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{54} & a_{55} & a_{56} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{65} & a_{66} \\ \end{matrix} \right]$

4. 稀疏矩阵:

$\left[ \begin{matrix} 0 & 12 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 14 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 15 & 0 & 0 & -7 & 0 & 0 &0 \\ \end{matrix} \right]$

性质：

稀疏矩阵：零元素个数远远大于非零元素的个数。
稀疏因子：在m × n的矩阵中，t个元素不为0，δ = $\frac{t}{ m × n }$ ，称δ为矩阵的稀疏因子。
通常认为δ≤0.05时称为稀疏矩阵。

压缩存储方法：

三元组顺序表（顺序存储结构）

#define MAXSIZE 12500//非零元素最大个数 
typedef struct{ 
    int i,j;//非零元素的行下标、列下标 
    elemtype e;
}Triple;

typedef struct{ 
    Triple data[MAXSIZE+1];//data[0]未用 int mu,nu,tu;//行数、列数、非零元素个数 
}TSMatrix;

行逻辑连接的顺序表（链式存储结构）
有时为了提高效率，可以随机存储任意一行的非0元素，这样，就需要知道每一行的第一个非0元素在三元组表中的位置。为此可以添加一个辅助数组来实现：

typedef struct{  
    Triple data[MAXSIZE+1];// data[0]未用  
    int rpos[MAXCO+1]// 各行第一个非零元的位置表,rpos [0]未用 
    int mu,nu,tu;//行数、列数、非零元素个数 
}RLSMatrix;

十字链表（链式存储结构）
将每行的非0元素组成一个链表，每列的非0元素组成一个链表。链表中的每个结点有5个域，有3个域与三元组中信息一样，保存行标、列标、元素值。剩下的2个域分别保存所在行下一个元素和所在列下一个元素。
最后将行链表的头指针组成一个数组，将列链表的头指针组成另一个数组，这样就形成了一个十字交叉的链表。