【动态规划】洛谷 P2758 编辑距离

题目描述

设 $A$ 和 $B$是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 $A$转换为字符串 $B$。这里所说的字符操作共有三种：

1. 删除一个字符；
2. 插入一个字符；
3. 将一个字符改为另一个字符。

$A,B$ 均只包含小写字母。

输入格式

第一行为字符串 $A$；第二行为字符串 $B$；字符串 $A,B$ 的长度均小于 $2000$。

输出格式

只有一个正整数，为最少字符操作次数。

输入样例

sfdqxbw
gfdgw

输出样例

4

题解

设字符串 $s1,s2$，设 $dp[i][j]$ 为 $s1$ 前 $i$ 位修改为 $s2$ 前 $j$ 位的花费。
状态转移方程（注意 $string$ 类是从第 $0$ 位开始的，所以要判断 $s1[i-1]==s2[j-1]$）：
$$\{\begin{array}{l}if(s1[i-1]==s2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\\ else\{\begin{array}{l}insert:dp[i][j]=dp[i][j-1]\\ delete:dp[i][j]=dp[i-1][j]\\ change:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1\end{array}\end{array}$$
解释一下：

1. 如果 $s1$ 第 $i$ 位等于 $s2$ 第 $j$ 位，不用修改，此时 $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$。
2. 如果 $s1$ 第 $i$ 位不等于 $s2$ 第 $j$ 位，尝试以下操作，使得花费最小：
   2.1 在 $s1$ 第 $i$ 位后插入 $s2$ 第 $j$ 位，等效于删除 $s2$ 第 $j$ 位。此时状态转移方程为$dp[i][j]=dp[i][j-1];$
   2.2 删除 $s1$ 第 $i$ 位。此时状态转移方程为$dp[i][j]=dp[i-1][j];$
   2.3 交换 $s1$ 第 $i$ 位和 $s2$ 第 $j$ 位。此时状态转移方程为$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$。

注意 边界：如果 $s1$ 或者 $s2$ 其中一者是空字符串，则需要 $s1$ 或者 $s2$ 不为空一方的字符串长度的花费。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

int n, m;
const int len = 10010;
const int mod = 1e6+7;

string s1, s2;

int dp[len][len];

int ans(){
    for(int i = 1; i <= s1.length(); i++) dp[i][0] = i;
    for(int j = 1; j <= s2.length(); j++) dp[0][j] = j;

    for(int i = 1; i <= s1.length(); i++)
        for(int j = 1; j <= s2.length(); j++){
            if(s1[i - 1] == s2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1), dp[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    return dp[s1.length()][s2.length()];
}

signed main(){
    cin >> s1 >> s2;
    cout << ans() << endl;
    return 0;
}