codeforces 340D D. Bubble Sort Graph(dp+线段树)

最新推荐文章于 2024-08-07 00:57:49 发布

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#codeforces #dp #线段树

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本文介绍了一个利用冒泡排序原理解决Codeforces340D问题的方法，通过固定第一个元素并寻找最长递增子序列来确定最大独立集的规模，最终使用线段树优化复杂度至O(n*logn)。

题目链接：

codeforces 340D

题目大意：

给出一个程序，就是冒泡排序，每次如果发现相邻两个数前一个大于后一个，交换位置后建边，问最后得到的这个图中的最大独立集，这个最大独立集定义为所有的点都不相邻的最大点的集合的规模。

题目分析：

首先我们可以知道对于a[i],它只会且一定会与后面的比它小的建边，所以我们只需要固定第一个点，然后找最长上升子序列即可。（这样能够保证没有相邻的点）
定义状态dp[i]为以i项结尾的最长上升子序列的长度。
转移方程如下： $d p [i] = m a x {d p [j] + 1}, (1 \leq j \leq i - 1, a [j] < a [i])$ $dp[i] = max \{ dp[j]+1 \},( 1\leq j \leq i-1 ,a[j] < a[i] )$
可以用线段树记录区间最大值，求取比a[i]小的最大的长度，最终优化后的复杂度是 $\mathcal{O}(n \cdot log_2^n)$

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAX 100007

using namespace std;

int n,a[MAX];

struct Tree
{
    int l,r,maxn;
}tree[MAX<<2];

void push_up ( int u )
{
    tree[u].maxn = max ( tree[u<<1].maxn , tree[u<<1|1].maxn );
}

void build ( int u , int l , int r )
{
    tree[u].l = l;
    tree[u].r = r;
    int mid = l+r>>1;
    tree[u].maxn = 0;
    if ( l == r ) return;
    build ( u<<1 , l , mid );
    build ( u<<1|1 , mid+1 , r );
}

void update ( int u , int x , int v )
{
    int l = tree[u].l;
    int r = tree[u].r;
    int mid = l+r>>1;
    if ( l == r )
    {
        tree[u].maxn = v;
        return;
    }
    if ( x > mid ) update ( u<<1|1 , x , v );
    else update ( u<<1 , x , v );
    push_up ( u );
}

int query ( int u , int left , int right )
{
    int l = tree[u].l;
    int r = tree[u].r;
    int mid = l+r>>1;
    if ( left <= l && r <= right )
        return tree[u].maxn;
    int ret = 0;
    if ( left <= mid && right >= l ) 
        ret = max ( ret , query ( u<<1 , left , right ) );
    if ( left <= r && right > mid )
        ret = max ( ret , query ( u<<1|1 , left , right ) );
    return ret;
}

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &a[i] );
        build ( 1 , 1, n );
        int x,ans=1;
        update ( 1 , a[1] , 1 );
        for ( int i = 2; i <= n ; i++ )
        {
            x = query ( 1 , 1 , a[i] );
            ans = max ( ans , x+1 );
            update ( 1 , a[i] , x+1 );
        }
        printf ( "%d\n" , ans );
    }
}