Montgomery Modular Multiplication

本文介绍了一种高效的大数模乘算法——蒙哥马利模乘算法,该算法通过将除法转换为移位操作来降低运算复杂度。文章详细解释了算法的工作原理,并给出具体的计算步骤。

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Calculationof the montgomery product

输入:n-bit素数M、蒙哥马利基数R=2n0ABM-1、预先计算M=-M-1mod R

输出:Z=MonProA,B= ABR-1 mod R

  1. TAB

  2. QTMmod R

  3. Z(T+QM)/R

  4. If ZM then ZZ-M end if

  5. Return Z

Proof

R -1mod M

RR -1≡1mod M

因此存在k 使得:RR -1= k M+1. KM

RR -1=MM+1.

T+QM= T+ T MM

= T+ T(RR -1)

= T RR -1

(T+QM)/R= TR-1

所以说Z最后还是计算的ABR-1

MontgomeryModular Multiplication最大的优势在于 舍去大数模乘中的除法,从而转换成移位,极大地降低了大数模乘的运算量。

为了简化计算可以把输入设为:AR modM, BR mod M这样计算出的结果为ABR mod p

在写SM2算法时,有一点需要注意,输入为1 R,利用蒙哥马利模乘算法计算的结果仍为1.

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