百道经典算法题——1～n整数中1出现的次数

求前n个数中包含1的个数

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例：

输入：n = 12
输出：5

解法详谈：

本题在求解时有点动态规划的思想，即利用小规模的问题去迭代求解大规模的问题，我们首先来看：
1、0-9中1的个数是1；
2、0-99中1的个数是9*1+10+1 = 20
对于0-99来说，我们可以将其拆0-89+90-99，对于0-89，可分开求十位上的1和和非十位上的1 的情况，非十位上的1（1,11,21,…,81）的情况9*1种,十位上的1（10,11,…,19）情况有10种；对于90-99（其实就是我们求得0-9的情况）只有1种，故加起来就是9*1+10+1。
3、0-999中1的个数是9*20+100+20 = 300
同样的，对于0-999来说，我们在上述的基础上进行拆分，可以分为0-899+900-999，对于0-899的情况，可分开求百位上的1和非百位上的1的情况，非百位上的1就是9*20种，百位上的1就是100种。对于900-999（其实就是我们求得0-99的情况）有20种。故加起来就是9*20+100+20

从上述案例来说，即是先算个位有1的情况，然后利用低位依次去计算高位。

例如：321，求1的个数？

对于个位1来说，1的个数是1；
对于十位21来说，1的个数是2*1+10+1=13；
对于百位321来说，1的个数是3*20+100+13=173;

——3 * 20 表示的是，0 - 99 、100 - 199、200 - 299中，三段0-99的1总和
——100 表示对于最高位为1的情况，也就是100-199，最高位有100个1
——13 表示300-321中，00-21的1总和，其实就是上一次的运算结果

需要注意的是，如果行号高位为1的话，例如121，此时高位就没有100-199，只有100-121，那么1的个数就是22，此时就是1*20+22+13；
由此可推得公式：res = num*f[flag] + ~~10^falg~~ + res; 划线部分需要在是否等于1时进行判断。
针对题目中数字最大为2^31次方，最多只有10位数。所以综上所述我们可以列出f(n)即，0-9；0-99；0-999；…
此外需要将f(0) = 0;以满足公式的通用性。
f(1) = 1;
f(2) = 20;
f(3) = 300;
f(4) = 4000;
f(5) = 50000;
f(6) = 600000;
f(7) = 7000000;
f(8) = 80000000;
f(9) = 900000000;
f(10) = ‭10,000,000,000‬;

int countDigitOne(int n){
	int f[] = {0, 1, 20, 300, 4000, 50000, 600000, 7000000, 80000000, 900000000};
    int count = 0;
    int res = 0;
    long flag = 1;
    int tmp = n;
    while(tmp != 0){
       int num = tmp % 10;
       tmp /= 10;
       res = res + f[count] * num;
       if(num > 1)
           res += flag;
       if(num == 1)//等于1时直接取低位数值
           res += n % flag + 1;
       count++;
       flag *= 10;
    }
    return res;
}

你明白了吗，臭猪？@要努力的鱼～嘿嘿