小学生都能看懂的高斯过程及其基础详解

高斯过程（Gaussian Process, GP）是一种强大的统计模型，用于对数据中的不确定性进行建模，特别是在机器学习和统计推断领域。高斯过程常用于回归（预测连续输出）和分类任务，提供了一种优雅的方式来预测及量化预测的不确定性。

简介

高斯过程通常表示为 $GP(m,k)$，其中 $m$ 是均值函数，通常可以是零（或任何其他常数），$k$ 是协方差函数，也称为核函数。当提到 $GP(0,1)$ 时，通常指的是具有零均值和单位方差的简化高斯过程。

具体公式

对于 $GP(0,1)$，假设一个随机函数 $f(x)$ 满足高斯过程，其均值函数 $m(x)=0$（对所有 $x$ 都是零），协方差函数 $k(x,x^{\prime })=\delta (x,x^{\prime })$，其中 $\delta$ 是狄拉克δ函数。这表示任意两点 $x$ 和 $x^{\prime }$ 的函数值 $f(x)$ 和 $f(x^{\prime })$ 是独立且标准正态分布的，如果 $x=x^{\prime }$，则完全相关（协方差为1），如果 $x\ne x^{\prime }$，则无关（协方差为0）。

数学表达

公式可以表达为:
$$f(x)\sim \mathcal{N}(0,1)$$
对于任何有限集合的点 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，$f$ 在这些点的值形成的向量 $\mathbf{f}=(f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n){)}^T$ 也遵循多元正态分布：
$$\mathbf{f}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$$
其中，$0$ 是一个 $n$ 维的零向量，$\mathbf{I}$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵，表示这些点的函数值互相独立。

这种形式的高斯过程因为其简化的性质，在实际应用中比较少见，通常会选择更复杂的协方差函数来捕捉数据点之间的相关性。

高斯过程的基本概念

1. 高斯分布（正态分布）

高斯过程的基础是高斯分布，即正态分布。这是一种对称的钟形曲线分布，由两个参数控制：均值（mean）和方差（variance）。均值确定了分布的中心位置，方差确定了分布的宽度，即数据的分散程度。

2. 从高斯分布到高斯过程

高斯过程描述的是函数的分布，而不仅是实数的分布。如果你认为一个函数的每个点的值都来自某个高斯分布，并且每一对点之间的值都有某种确定的相关性，那么你就可以用高斯过程来描述这个函数。高斯过程本质上是无限维的高斯分布，每个维度对应函数的一个可能的值。

3. 核函数（Covariance Function）

核函数在高斯过程中定义点与点之间的相关性。它描述了一个点处的函数值如何影响其他点处的函数值。常见的核函数包括平方指数核、线性核和周期核等。选择不同的核函数可以捕捉数据的不同特性，如平滑度、周期性等。

高斯过程的应用

1. 高斯过程回归（Gaussian Process Regression）

在高斯过程回归中，我们使用高斯过程来预测给定输入点的输出值。具体步骤如下：

• 选择一个核函数，这决定了你认为数据中的关系是怎样的。
• 给定训练数据（已知的输入-输出对），基于核函数计算训练点之间的协方差矩阵。
• 预测新点的输出，通过计算新点与训练数据点之间的协方差，并利用这些协方差更新你对新点输出的预测及其不确定性。

2. 量化预测的不确定性

高斯过程的一个关键优势是能够提供预测的不确定性估计。对于每一个预测点，高斯过程不仅给出预测值（即均值），还提供了预测的方差，这个方差可以被解释为该预测的不确定性。

高斯过程回归

高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）是一种基于概率的回归方法，使用高斯过程来预测未知数据点的输出。在深入数学公式之前，我们先建立一些概率论的基础知识。

概率论基础

1. 高斯分布（正态分布）:

   • 单变量高斯分布的概率密度函数为：$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
     其中，$\mu$ 是均值，${\sigma }^2$ 是方差。

2. 多变量高斯分布:

   • $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 为随机向量，其服从多变量高斯分布：$$\mathbf{x}\sim \mathcal{N}(\mathbf{\mu },\Sigma )$$
     其中，$\mathbf{\mu }$ 是均值向量，$\Sigma$ 是协方川矩阵。

3. 条件概率和边际概率:

   • 条件概率：给定事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率，表示为 $P(A|B)$。
   • 边际概率：不考虑其他变量影响下，某个事件发生的概率。

高斯过程回归的数学描述

高斯过程是定义在连续输入空间的随机过程，其中任何一组点的联合分布都是高斯的。

高斯过程定义

假设我们有一个函数 $f(x)$ 从输入空间 $\mathcal{X}$ 映射到实数 $\mathbb{R}$。如果对于任意选择的点集 KaTeX parse error: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at end of input: … \in \mathcal{X，这些点对应的函数值 $f(x_1),\dots ,f(x_n)$ 总是服从多元高斯分布，则 $f$ 可以表示为一个高斯过程：
$$f(x)\sim \text{GP}(m(x),k(x,x^{\prime }))$$
其中，$m(x)$ 是均值函数， k (