P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏 day28

伊吹琳琳子

已于 2022-07-15 00:31:50 修改

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文章标签：动态规划算法蓝桥杯 c++ 矩阵

于 2022-07-13 13:32:09 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_23852555/article/details/125761795

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这篇博客主要探讨了一种特殊的动态规划问题——区间DP，并结合高精度计算解决了一类从未遇到过的题目。作者详细介绍了状态转移方程的建立过程，以及如何使用预处理的二次幂进行高效计算。博客中还提供了完整的C++代码实现，包括高精度乘法、加法和取最大值的函数。通过实例，解释了如何遍历区间并找到最大值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

经过昨天一战今天开始我要努力学习dp了！

这道题的dp！是区间dp！是我从来没学过的类型所以我那张题来感觉啥都不会哈哈

我们可以把f_i_j 看成我们到达区间 [i,j] 时的max

那么状态转移方程就出来了

注意这里需要用高精看起来代码很多其实都是模板

f_i_j 可以是左边过来那么就要加上a[i-1]*其次幂我们可以预处理出er【】

然后可以简单记住一个公式就是 m-j+i-1 就是当前次幂

还有就写在注释里面了

f[i][j] = Max(add(f[i - 1][j],mul(er[m - j + i - 1],a[i - 1])),add(f[i][j + 1],mul(er[m - j + i - 1],a[j + 1])));

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 85;
const int M = 1e4+10;
const int mod = 1e9+7;
#define int long long
#define endl '\n'
#define Endl '\n'
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define fast ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int n,m,a[N];
vector<int>f[N][N];
vector<int> mul(vector <int>A, int b) {//高精度乘法
    vector <int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++) {
        t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t) {
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}
vector<int> add(vector<int>(A), vector<int>(B)){//高精度加法
    int t=0;
    vector<int>C;
    if(A.size()<B.size())swap(A,B);
    for(int i=0;i<A.size();i++){
        t+=A[i];
        if(i<B.size())t+=B[i];
        C.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    if(t)C.push_back(t);
    return C;
}
vector<int>er[N];//预处理二次幂
void two(){
    er[0].push_back(1);
    for(int i=1;i<=80;i++)er[i]=mul(er[i-1],2);
}
vector<int> Max(vector<int>A,vector<int>B){//取max
    if(A.size()<B.size())return B;
    else if(A.size()==B.size()){
        for(int k=B.size()-1;k>=0;k--){
            if(A[k]==B[k])continue;
            else if(A[k]>B[k])return A;
            else if(A[k]<B[k])return B;
        }
    }else return A;
    return A;
}
signed main(){
    fast
    cin>>n>>m;
    two();
    vector<int>ans;
    while(n--){
        memset(f,0,sizeof f);//每次都要清空啊
        for(int j=1;j<=m;j++)cin>>a[j];//输入
        for(int i=1;i<=m;i++)//状态转移
            for(int j=m;j>=i;j--)//要是>=i了就不用做了 因为再做就是重复的没有必要
                f[i][j] = Max(add(f[i - 1][j],mul(er[m - j + i - 1],a[i - 1])),add(f[i][j + 1],mul(er[m - j + i - 1],a[j + 1])));
        vector<int>mx;//记录最大值，我们知道我们区间dp不能到长度为1的区间所以要自己一个一个遍历
        for(int i=1;i<=m;i++)mx=Max(mx,add(f[i][i],mul(er[m],a[i])));
        ans=add(ans,mx);
    }
    for(int i=ans.size()-1;i>=0;i--)cout<<ans[i];
    return 0^0;
}