常见算法之分治算法(解决汉诺塔问题)

常见算法之分治算法(解决汉诺塔问题)

分治算法介绍

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

分治算法可以求解的一些经典问题:1.二分搜索2.大整数乘法3.棋盘覆盖4.合并排序5.快速排序6.线性时间选择7.最接近点对问题8.循环赛日程表9.汉诺塔

分治算法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：
(1)分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
(2)解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
(3)合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

分治(Divide-and-Conquer§)算法设计模式：

if |P|≤n0
then return(ADHOC§)
//将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合并子问题
return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC§是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC§求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

分治算法的典型例子—汉诺塔问题

(1)若移动两个盘:
(2)若移动3个盘:

(3)若移动四个盘:可以看做是两个盘

利用分治算法解决汉诺塔问题的思路:

将汉诺塔分解到只有一个盘时:直接将盘子从A->C即可
若是存在两个盘:则是先将上面的盘:A->B;再将下面的盘:A->C;最后将B塔上的盘:B->C
所以我们可以将若干个盘(n>=2)一步步地分解:都可以看做是两个盘的情况:
(1)先将上面的n-1个盘从A移动到B: A->B
(2)再将最下面的盘从A移动到C: A->C
(3)最后将上面的n-1个盘从B移动到C:  B->C

代码实现

package com.bingym.divideandconquer;

public class HanoiTower {
    
    public static void main(String[] args) {
        //进行汉诺塔的测试:3个盘
        hanoiTower(3,'A','B','C');

    }
    
    private static void hanoiTower(int num,char a,char b,char c) {//num表示盘的个数,a,b,c分别表示三个塔
        //若只有一个塔,则直接将其从A->C
        if (num == 1) {
            System.out.println("第1个盘 : " + a + "-> " + c);
        }else {
            //即num>=2的情况:我们可以将若干个盘(n>=2)一步步地分解:都可以看做是两个盘的情况
            //(1)先将上面的n-1个盘从A移动到B:      A->B
            hanoiTower(num-1,a,c,b);//借助C将num-1个盘从A移动到B
            //(2)再将最下面的盘从A移动到C:         A->C
            System.out.println("第" + num + "个盘 : " + a + "-> " + c);
            //(3)最后将上面的n-1个盘从B移动到C:    B->C
            hanoiTower(num-1,b,a,c);//借助A将num-1个盘从B移动到C
        }
    }
}

输出结果:
第1个盘 : A-> C
第2个盘 : A-> B
第1个盘 : C-> B
第3个盘 : A-> C
第1个盘 : B-> A
第2个盘 : B-> C
第1个盘 : A-> C