Image Processing and Analysis_8_Edge Detection：The Design and Use of Steerable Filters——1991

此主要讨论图像处理与分析。虽然计算机视觉部分的有些内容比如特 征提取等也可以归结到图像分析中来，但鉴于它们与计算机视觉的紧密联系，以 及它们的出处，没有把它们纳入到图像处理与分析中来。同样，这里面也有一些 也可以划归到计算机视觉中去。这都不重要，只要知道有这么个方法，能为自己 所用，或者从中得到灵感，这就够了。

8. Edge Detection
边缘检测也是图像处理中的一个基本任务。传统的边缘检测方法有基于梯度 算子，尤其是 Sobel 算子，以及经典的 Canny 边缘检测。到现在，Canny 边缘检 测及其思想仍在广泛使用。关于 Canny 算法的具体细节可以在 Sonka 的书以及 canny 自己的论文中找到，网上也可以搜到。最快最直接的方法就是看 OpenCV 的源代码，非常好懂。在边缘检测方面，Berkeley 的大牛 J Malik 和他的学生 在 2004 年的 PAMI 提出的方法效果非常好，当然也比较复杂。在复杂度要求不高 的情况下，还是值得一试的。MIT的Bill Freeman早期的代表作Steerable Filter 在边缘检测方面效果也非常好，并且便于实现。这里给出了几篇比较好的文献， 包括一篇最新的综述。边缘检测是图像处理和计算机视觉中任何方向都无法逃避 的一个问题，这方面研究多深都不为过。
[1980] theory of edge detection
[1983 Canny Thesis] find edge
[1986 PAMI] A Computational Approach to Edge Detection
[1990 PAMI] Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion
[1991 PAMI] The design and use of steerable filters
[1995 PR] Multiresolution edge detection techniques
[1996 TIP] Optimal edge detection in two-dimensional images
[1998 PAMI] Local Scale Control for Edge Detection and Blur Estimation
[2003 PAMI] Statistical edge detection_ learning and evaluating edge cues
[2004 IEEE] Edge Detection Revisited
[2004 PAMI] Design of steerable filters for feature detection using canny-like criteria
[2004 PAMI] Learning to Detect Natural Image Boundaries Using Local Brightness, Color, and Texture Cues
[2011 IVC] Edge and line oriented contour detection State of the art

 

翻译

可转向过滤器的设计和使用——http://tongtianta.site/upload

作者：William T. Freeman and Edward H. Adelson

 

摘要 -定向滤镜在许多早期视觉和图像处理任务中很有用。人们经常需要应用相同的滤波器，在自适应控制下旋转到不同的角度，或者希望计算不同方向的滤波器响应。我们提出了一种有效的体系结构，可以从基本滤波器的线性组合中合成任意方向的滤波器，从而允许将滤波器自适应地“引导”到任意方向，并根据方向解析地确定滤波器的输出。可控滤波器可以成对设计，以允许对相位和方向进行自适应控制。我们将展示如何设计和操纵滤镜，并展示其在多个任务中的使用示例：方向和相位分析，角度自适应滤镜，边缘检测和阴影形状。也可以构建自相似的可控金字塔表示。可以将相同的概念推广到3-D可控滤波器的设计，这在分析图像序列和体积数据时应该很有用。

索引词-早期视觉，边缘检测，滤波器设计，图像分析，方向分析，方向滤波器，阴影形状，纹理分析，小波。

 

Ⅰ 引言

定向滤镜用于许多视觉和图像处理任务，例如纹理分析，边缘检测，图像数据压缩，运动分析和图像增强。在许多这些任务中，在自适应控制和控制下应用任意定向的滤镜非常有用。检查作为方向和相位的函数的滤波器输出。我们将讨论允许以任意方向和相位合成滤波器的技术，并开发分析滤波器输出的方法。我们还将描述用于此类处理的高效架构，为二维和三维滤镜开发灵活的设计方法，并将滤镜应用于图像分析中的多个任务。这项工作的初步报告见[12]和[13]。

查找滤波器在许多方向上的响应的一种方法是应用同一滤波器的许多版本，每个版本在角度上的一些小旋转都彼此不同。一种更有效的方法是应用对应于几个角度的几个滤波器，并在响应之间进行内插。然后，需要知道需要多少个过滤器以及如何在响应之间正确地内插。使用正确的滤波器设置和正确的插值规则，就可以确定任意方向的滤波器的响应，而无需显式应用该滤波器。

我们使用“可控滤波器”一词来描述一类滤波器，其中任意方向的滤波器被合成为一组“基本滤波器”的线性组合。我们将显示二维和三维函数都是可控的以及控制一个给定滤波器需要多少个基本滤波器我们首先讨论二维情况。

Ⅱ 一个例子

作为介绍示例，请考虑用笛卡尔坐标x和y编写的二维圆对称高斯函数G：

为了方便起见，其中缩放比例和标准化常数已设置为1。定向导数算子是可操纵的，如众所周知的[8]，[12]，[16]，[18]，[21]-[24]，[27]，[34]。让我们将高斯在x方向上的n阶导数写为G_n。令(...)表示旋转算子，使得对于任何函数f(x，y)，都是f(x，y)绕原点旋转一个角度。高斯的一阶x导数是

 

旋转90°的相同功能是

这些功能如图1(a)和(b)所示。 显而易见，可以通过采用和的线性组合来合成任意方向8的G₁滤波器：

由于和跨越了过滤器的集合，因此我们将它们称为的基础过滤器。cos()和sin()项是这些基础过滤器的相应插值函数。

因为卷积是线性运算，所以我们可以通过对用和滤波的图像进行线性组合来合成以任意方向滤波的图像。
  *代表卷积，如果

 

高斯滤波器的导数提供了可简化性的简单说明。 在下一部分中，我们将概括这些结果以涵盖各种各样的过滤器(有关此方法的最新扩展，请参见[36]，[41])。

图1：可操纵文件的示例：(a)相对于高斯的x(水平)的一阶导数； (b)(即)旋转90°。 通过这两个滤波器的线性组合，可以创建，它是高斯一阶导数的任意旋转。 (c)，由形成。 用于从基本滤波器合成的相同线性组合也将从图像对基本滤波器的响应中合成图像对的响应。 (d)圆盘图像； (e)(比上图小)盘旋(d)；(f)和(d)盘旋：(g)与(d)盘旋，得自 1/2(图(e)) + (图像(f))。

Ⅲ 二维转向定理

我们想要找到在什么条件下f(x，y)可以转向，即何时可以将其写成其旋转版本的线性和。

转向约束是

我们想知道什么函数f(x，y)可以满足(8)，总和中需要多少项M，以及插值函数k_j()是什么。

我们将在极坐标和中工作。 令f 为可以在极角处以傅立叶级数展开的任何函数：


在附录A中，我们证明以下定理：

定理1：当且仅当插值函数k是解的解时，转向条件(8)才适用于以(9)形式扩展的函数

 

如果对于任何n，a_n(r)= 0，则应删除(10)左侧的对应的第(n)行和右侧的矩阵的第(n)行。

我们对控制特定函数f(r，)所需的最小数量的基础函数感兴趣。设T为正或负频率 -N≤n≤N 的数量，在极角傅里叶分解中，f(r，)具有非零系数 a_n(r)。例如，cos()=的T = 2，而cos()+ 1 = +e⁰ 的T = 3。在附录B中，我们得出将引导 f(r，)的任何形式的基本滤波器的最小数量，即以下等式成立：

其中g_j(r，)可以是任何函数集。定理2给出结果。

定理2：令T为可扩展为(9)形式的函数f(r，)的非零系数a_n(r)的数量。然后，足以使f(r，)转向(11)的基函数的最小数量为T，即(11)中的M必须> = T。

使用函数本身的旋转形式作为基础函数，如(8)中的T基本函数方向；必须选择以使(10)中矩阵的列线性独立。在实践中，出于对称性和对噪声的鲁棒性的原因，我们选择在0和Π 之间夹角相等的基函数。注意，插值函数k_j()不依赖于滤波器f(r，)的傅立叶角分解中的非零系数a_n(r)的值。

一维带限函数可以由与傅立叶项数(即自由度数)相对应的有限数量的样本表示。定理1和2表明，角度带限函数的行为相同。

 

我们通过重新推导Gi的转向方程来说明定理1的使用。在极坐标中，高斯的第一个导数是

由于(r，)在极角的傅里叶分解中具有两个非零系数，因此根据定理1，两个基函数足以合成。插值函数可从(10)中找到，除第二行外的所有条目均被删除：

如果我们选择一个基函数定向为₁ = 0°，另一个基函数定向为₂ = 90°，则(13)给出k1()= cos()和k₂()= sin()。因此，定理I告诉我们