求乘法逆元

乘法逆元，是指数学领域群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性质a×a’=a’×a=e，其中e为该群的单位元。（百度百科的解释，鬼才能看懂┑(￣Д ￣)┍）

我理解的乘法逆元是，若a*b≡1(mod p)，则b是a的乘法逆元，a是b的乘法逆元，b也可以写成a^-1

乘法逆元有什么用呢？
在取模运算中，有a*b%p=(a%p) * (b%p)
但是没有(a/b)%p=(a%p)/(b%p)
如果我们需要模一个很大的质数，而且恰好结果中还有除法，这时候我们就可以用它的逆元代替它，即，(a/b)%p=(a*b^-1)%p=(a%p) *(b^-1%p)（嫑问我为什么，因为我也不知道 ┑(￣Д ￣)┍）

在mod p运算中，a存在乘法逆元的充要条件是a与p互质

那么如何来求乘法逆元呢？

主要有三种方法
1、 扩展欧几里得。a*a^-1≡1(mod p)可以转换成a*a^-1 + py = 1，这就变成了扩展欧几里得了

long long extend_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long  &y) {
    if (b) {
        long long r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
        y -= x*(a/b);
        return r;
    } else {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
}

2、费马小定理a^p-1≡1(mod p)（p为素数），做一下变形得到a*a^p-2≡1 (mod p)，so，a^p-2就是a的逆元了，a^p-2直接用快速幂就能求了

3、网上看到的一个很厉害的o(n)的递推，求前n个逆元，不知道是怎么推出来的，但是可以简单地证明一下正确性(要求所mod p为素数)

首先，1的逆元是1，没什么疑问。
假设前i个数的逆元已经求出，那么
i^-1 = (p%i)^-1 * (p - [p/i]) % p。其中[]表示去尾取整。
(p%i)^-1其实就是(p-[p/i]*i)^-1，然后我们左右乘以i，
i*i^-1 = (p-[p/i]i)^-1 ((i-1)*p + p-[p/i]*i) % p，
其实就是i*i^-1 = k^-1 * ((i-1)*p + k) % p = 0 + 1 = 1，这样就证完了

int inv[MAXN];
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i<MAXN; i++)
    inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;