gauss消元

高斯消元法（或译：高斯消去法）（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。

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 * 函数说明
 * 
 * 将方程做成一个矩阵，再利用三种矩阵初等变换
 * 得到上三角矩阵，最后回代得到解集 
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 * 时间复杂度 O(n^3)
 *  
 * 输入 
 * a  方程组对应的矩阵
 * n  方程未知数的个数
 * l  表示是否为自由元
 * ans 存储解 
 *
 * 输出：解空间的维数 
 **/
int gauss(double a[][N], bool l[], double ans[], int &n){
    int res = 0, r = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        l[i] = false;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        // 交换两行， 使得a[r][i]不为零 
        for (int j = r; j <= n; j++){
            if (fabs(a[j][i]) > eps){
                for (int k = i; k <= n+1; k++){
                    swap(a[j][k], a[r][k]);
                }
                break;
            }
        }
        // 如果a[r][i]仍然是0 则这个方程是一个无用的方程 
        if (fabs(a[r][i]) < eps){
            res++;
            continue;
        }
        for (int j = 1; j <= n; j++){
            if (j != r && fabs(a[j][i]) > eps){
                double tmp = a[j][i] / a[r][i];
                for (int k = i; k <= n+1; k++){
                    a[j][k] -= tmp*a[r][k];
                }
            }
        }
        l[i] = true;
        r++;
    }
    // 计算解集 
    for (int i = 0; i < n; i++){
        if (l[i]){
            for (int j = 0; j < n; j++){
                if (fabs(a[j][i]) > 0){
                    ans[i] = a[j][n]/a[j][i];
                }
            }
        }
    }
    return res;
}