坐标系与姿态矩阵

导航中的坐标系

在导航中需要了解载体的姿态，位置以及速度信息。由于陀螺仪具有定轴性，就是当陀螺转子以高速旋转时，在没有任何外力矩作用在陀螺仪上时，陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变的特性，陀螺仪的方向总是指向惯性系。正是这种特性，利用陀螺仪输出的角速度可以解算出机体坐标系及其方向。
a>.地心惯性坐标系（i 系 ）
原点在地球中心，z轴沿地球自转方向，x，y在赤道平面内，指向恒星方向，xyz构成右手坐标系，三轴坐标轴指向惯性空间恒定不动，这是惯性仪表测量的参考基准。

b>.地球坐标系(e系)
原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向地球赤道面与格林尼治子午圈的交点，Y轴在赤道平面里与XOZ构成右手坐标系。
c>.地理坐标系(n系)
原点在载体中心，z轴指向天，x轴指向东，y轴指向北，即（ＥＮＵ），不同教材采用的地理坐标系或许不同，有的叫教材是北东天，北东地或北西天，我们参照秦永元的《惯性导航》采用的是东北天坐标系。

c>.载体坐标系（n系）
原点与飞行器中心重合，ｚ轴指向飞行上方，ｘ轴指向飞行器前方，ｙ轴指向飞行器右边。

由于找不到合适图片，用的是ｚ轴指向飞行器下方的图片，一般采用的是指向飞行器上方。

• 不同坐标系的相互转换
  坐标系的变换一般通过方向余弦矩阵来表述的。作为一个定矢量，从一个坐标系转换成另外坐标系的时候。其表达为
  　　　　　　 　$r^２＝C^2_1*r^1;$
  $C^2_1$是坐标系1向坐标系2的转移矩阵，而转移矩阵可以理解为坐标系1的xyz轴在坐标系2的投影。
  在惯性导航中，如何获得状态转移矩阵，是一个基本问题。如果从姿态矩阵角度来理解，两个不同坐标系的转换往往是沿着某个特定的轴来旋转，虽然采用四元素来表示，即将三维扩展到四维，四元素一般计算方便，但对于理解其物理特性比较难懂。在实际生活中很难用传感器采集到载体的旋转轴，都是将陀螺仪放在xyz建立的三轴正交坐标系中，采集xyz三轴的旋转角度。来逼近或拟合旋转轴。可以将实际旋转的轴分解成三个部分，分别是沿着x，y,z三轴来表示。实际上由于旋转的不可交换性，即先x轴，在y轴和先y轴再x轴旋转所得结果是不同的。所以实际上有12种坐标变换，我们参照《惯性导航》的坐标转换，见下图：
  
  坐标系的不断变化，一般矩阵右乘，例如坐标系从a系变成b系，其转移矩阵为C1,b系变为c系，其矩阵为C2,则a系变为c系，转移矩阵C3=C2*C1;
  既然不同次序的变换其结果是不同的，那为什么采用的是上图的三次坐标变换。这是由于将高阶项给去除了.得到的是近似值。因为只要在传感器取样的时候，采样频率足够高，这样旋转角就越小。其消去对应的高阶项所对应的误差越小。例如
  $C^b_n=$
  $$\begin{matrix} cosψ+sinγsinψsinθ&-cosγsinγ+sinγcosψsinθ & -sinγcosθ\\ sinψcosθ& cosψcosθ & sinθ \\ sinγcosψ-cosγsinψsinθ&-sinγsinψ-cosγcosψsinθ& cosγcosθ \end{matrix}$$
  如果旋转角ψθγ如果小，即ψθγ为即小角，忽略高阶误差。ψθγ逼近0。即上式中$C^b_n$可以改成下面公式：
  $C^b_n$=
  $$\begin{matrix} 1&-ψ&γ\\ ψ&1&θ\\ γ&-θ&1 \end{matrix}$$
  从上式可以看出当所采集到的旋转角度采样足够小，其旋转的不可交换的误差获取也比较小。也说明上式中三次旋转的姿态矩阵可以近似相等于姿态转换矩阵。是可以表示姿态变换阵。详细的推导可以参照其他惯性导航的书。如秦永元《惯性导航》，袁信，郑谔编著《捷联式惯性导航原理》