数学建模算法与应用 数理统计

习题

习题7.1

  从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验，测得寿命（单位：h）为$[1050,1100,1120,1250,1280]$，设灯泡寿命服从正态分布。求灯泡寿命平均值的置信水平为0.90的置信区间

算法设计

• 这个地方关于python的实现我还没有找到，但是在探索的过程中发现MATLAB与python的std()函数得到的结果不一样，是因为MATLAB默认求解样本标准差，而np.std()默认求解总体标准差，所以需要添加参数np.std(x,ddof = 1)才能切换为样本标准差

clc,clear
x = [1050,1100,1120,1250,1280];
n = length(x);
alpha = 0.10;
% 计算alpha/2分位数
Ta = tinv(1-alpha/2,n-1)
% 拟合正态分布参数(mu,sigma)
pd = fitdist(x,'Normal')
% ci第一列为均值置信区间，第二列为标准差置信区间
ci = paramci(pd,'Alpha',alpha)

习题7.2

  某车间生产滚珠，随机地抽出了50粒，测得它们的直径为（单位：mm）：
$$\begin{gathered} 15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.3 \\ 15.115.315.015.615.714.814.514.214.914.9 \\ 15.215.015.315.615.114.914.214.615.815.2 \\ 15.915.215.014.914.814.515.115.515.515.1 \\ 15.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2 \end{gathered}$$

算法设计

• 检验假设$H_0$：滚珠直径$X\sim N(15.0780,0.4325^2)$

clc,clear
a = readmatrix('data7_2.txt');
x = a(:);
pd = fitdist(x,'Normal');
[h,p1,st] = chi2gof(xm,'cdf',pd,'Nparam',2)
ed = st.edges;
ed(1) = -inf;
end(end) = inf;
% 计算各个区间的概率
p2 = diff(cdf(pd,ed))
% 计算上alpha分位数
k2 = chi2inv(0.95,st.df)

习题7.3

  按分位数法求灯泡寿命平均值的置信水平为0.90的Bootstrap置信区间。

算法设计

clc,clear
% 固定随机数种子
x = [1050,1100,1120,1250,1280]';
% 计算均值的置信区间
mu = bootci(10000,{@(x)mean(x),x},'alpha',0.1)

习题7.4

  设有如表所列的3个组5年保险理赔的观测数据。试用方差分析法检验3个组的理赔额均值是否有显著差异（取显著性水平$ \alpha = 0.05$，已知$F_{0.05}(2,12) = 3.8853$）

	$t=1$	$t=2$	$t=3$	$t=4$	$t=5$
$j=1$	98	93	103	92	110
$j=2$	100	108	118	99	111
$j=3$	129	140	108	105	115

算法设计

• 用$X_{jt}$表示第$j$组第$t$年的理赔额，其中$j=1,2,3,t=1,2,\cdots ,5$。假设所有的$X_{jt}$相互独立且服从$N({\mu }_j,{\sigma }^2)$分布，即对应于每组均值$m_j$可能不相等，但是方差${\sigma }^2>0$是相同的
• 提出原假设$H_0:{\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3,H_1:{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3$不全相等

clc,clear
a = readmatrix('data7_4.txt')
[p,t,st] = anoval(a')

习题7.5

  某种半成品在生产过程中的废品率$y$与它所含的某种化学成分$x$有关，现将试验所得的8组数据记录如表。试求回归方程$y=\frac{a_1}{x}+a_2+a_{3}x+a_4{x}^2$

序号	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$	1	2	4	5	7	8	9	10
$y$	1.3	1	0.9	0.81	0.7	0.6	0.55	0.4

算法设计

• 利用python中scipy包求解

from scipy.optimize import curve_fit
def fx(x,a1,a2,a3,a4):
    return a1/x + a2 + a3 * x + a4 * x ** 2
x = [1,2,4,5,7,8,9,10]
y = [1.3,1,0.9,0.81,0.7,0.6,0.55,0.4]
popt, pcov = curve_fit(fx, x, y)
popt

输出：

array([ 0.64983455,  0.59007412,  0.06658214, -0.00912294])

习题7.6

  人的身高与腿长有密切关系，现测得13名成年男子身高$y$与腿长$x$数据见表。试建立人的升高$y$和腿长$x$之间的一元线性回归模型。

$x$	92	95	96	96.5	97	98	101	103.5	104	105	106	107	109
$y$	163	165	167	168	171	170	172	174	176	176	177	177	181

算法设计

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 导入数据
a = np.loadtxt('C:/Users/lenovo/Desktop/data7_6.txt')
x = a[0,:]
y = a[1,:]
# 构建线性回归模型对象
lin_reg = LinearRegression()
# 训练
lin_reg.fit(x[:,np.newaxis],y[:,np.newaxis])
# 打印系数
print(lin_reg.coef_,lin_reg.intercept_)
print('R方:',lin_reg.score(x[:,np.newaxis],y[:,np.newaxis]))
print('RMSE:',np.sqrt(mean_squared_error(y[:,np.newaxis],lin_reg.predict(x[:,np.newaxis]))))
# 绘制图形
plt.figure(dpi = 600)
plt.plot(np.arange(1,x.shape[0]+1,1),y[:,np.newaxis] - lin_reg.predict(x[:,np.newaxis]),'+')
plt.axhline(y=0.0, c='r')  # 垂直于y轴的参考线

输出：

[[0.98081454]] [73.2409963]
R方: 0.9616734761736716
RMSE: 1.0054868502483365