数学建模算法与应用整数规划（cvxpy包）

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已于 2022-06-20 16:48:53 修改 · 6.9k 阅读

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#算法 #线性代数 #python #cvxpy

于 2022-05-29 18:40:36 首次发布

本文解析了一系列线性规划习题，包括非线性转线性规划、选址问题、资源分配等，通过建立数学模型并利用Python求解，提供详细的算法设计思路。

习题

习题2.1

试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
$x_1+x_1x_2-x_3\\ s.t.= \begin{cases} -2x_1 + 3x_2+x_3 \leq 3\\ x_j = 0 \text{或}1,\ \ j = 1,2,3 \end{cases}$

算法设计

做变量替换 $y = x_1x_2$ ，则有如下关系：
$x_1+x_2-1 \leq y \leq x_1 \\ x_1 + x_2 -1 \leq y \leq x_2$
从而得到如下的线性0-1规划
$x_1 + y - x_3\\ s.t.= \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 + x_3 \leq 3\\ x_1 + x_2 -1 \leq y \leq x_1\\ x_1 + x_2 -1 \leq y \leq x_2\\ x_j = 0 或 1, \ \ j = 1,2,3\\ y = 0或1 \end{cases}$

习题2.2

某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区 $A_1,A_2,...,A_8$ 增设若干所小学，经过论证知备选校址有 $B_1,B_2,...,B_6$ ，它们能够覆盖的居民小区如下表所示。

$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$
$A_1,A_5,A_7$	$A_1,A_2,A_5,A_8$	$A_1,A_3,A_5$	$A_2,A_4,A_8$	$A_3,A_6$	$A_4,A_6,A_8$

试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能够覆盖所有的居民小区

算法设计

令
$x_{i} = \begin{cases} 1,\ \ \ 在备选校址B_{i}建学校\\ 0,\ \ \ 在备选校址B_{i}不建学校\\ \end{cases}$
小区 $A_{1}$ 可以被备选校址B_1、B_2、B_3处所建的学校覆盖，则有约束条件
$x_1 + x_2 + x_3 \geq 1$
依次类推，建立如下0-1整数规划模型：
$\sum^{6}_{i = 1}x_i\\ s.t. = \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 \geq 1 \\ x_2 + x_4 \geq 1 \\ x_3 + x_5 \geq 1 \\ x_4 + x_6 \geq 1 \\ x_5 + x_6 \geq 1 \\ x_1 \geq 1\\ x_2 + x_4 + x_6 \geq 1 \\ x_{i} = 0 或 1,\ \ \ i = 1,2,...,8 \end{cases}$

# 决策变量
n = 8
# nonneg参数，变量是否为非负
x = cp.Variable(n,nonneg = True)

# 约束1
A1 = np.array([[1,1,1,0,0,0,0,0],
              [0,1,0,1,0,0,0,0],
              [0,0,1,0,1,0,0,0],
              [0,0,0,1,0,1,0,0],
              [0,0,0,0,1,1,0,0],
              [1,0,0,0,0,0,0,0],
              [0,1,0,1,0,1,0,0]])
b1 = np.array([1,1,1,1,1,1,1])

# 约束2
A2 = np.ones((8, 8))
for i in range(A2.shape[0]):
    for j in range(A2.shape[1]):
        if i == j:
            pass
        else:
            A2[i, j] = A2[i, j]*0

b2 = np.array([0,0,0,0,0,0,0,0])
# 约束3
A3 = np.ones((8, 8))
for i in range(A3.shape[0]):
    for j in range(A3.shape[1]):
        if i == j:
            pass
        else:
            A3[i, j] = A3[i, j]*0
b3 = np.array([1,1,1,1,1,1,1,1])

# 目标函数
c = np.array([1,1,1,1,1,1,1,1])

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Minimize(c.T @ x),
                  [A1 @ x >= b1,
                  A2 @ x >= b2,
                  A3 @ x <= b3])

# 求解
ans = prob.solve(solver=cp.GLOP)
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
# 对x向量各元素取整数后再输出