准时抵达会议现场的最小跳过休息次数

题目

给你一个整数 hoursBefore ，表示你要前往会议所剩下的可用小时数。要想成功抵达会议现场，你必须途经 n 条道路。道路的长度用一个长度为 n的整数数组 dist 表示，其中 dist[i] 表示第 i 条道路的长度（单位：千米）。另给你一个整数 speed ，表示你在道路上前进的速度（单位：千米每小时）。

当你通过第i条路之后，就必须休息并等待，直到 下一个整数小时 才能开始继续通过下一条道路。注意：你不需要在通过最后一条道路后休息，因为那时你已经抵达会议现场。

• 例如，如果你通过一条道路用去 1.4 小时，那你必须停下来等待，到 2 小时才可以继续通过下一条道路。如果通过一条道路恰好用去 2小时，就无需等待，可以直接继续。

然而，为了能准时到达，你可以选择 跳过 一些路的休息时间，这意味着你不必等待下一个整数小时。注意，这意味着与不跳过任何休息时间相比，你可能在不同时刻到达接下来的道路。

• 例如，假设通过第 1 条道路用去 1.4 小时，且通过第 2 条道路用去 0.6 小时。跳过第 1 条道路的休息时间意味着你将会在恰好 2 小时完成通过第 2 条道路，且你能够立即开始通过第 3条道路。
  返回准时抵达会议现场所需要的 最小跳过次数 ，如果 无法准时参会 ，返回 -1 。

示例

示例1

输入：dist = [1,3,2], speed = 4, hoursBefore = 2
输出：1
解释：
不跳过任何休息时间，你将用 (1/4 + 3/4) + (3/4 + 1/4) + (2/4) = 2.5 小时才能抵达会议现场。
可以跳过第 1 次休息时间，共用 ((1/4 + 0) + (3/4 + 0)) + (2/4) = 1.5 小时抵达会议现场。
注意，第 2 次休息时间缩短为 0 ，由于跳过第 1 次休息时间，你是在整数小时处完成通过第 2 条道路。

示例2

输入：dist = [7,3,5,5], speed = 2, hoursBefore = 10
输出：2
解释：
不跳过任何休息时间，你将用 (7/2 + 1/2) + (3/2 + 1/2) + (5/2 + 1/2) + (5/2) = 11.5 小时才能抵达会议现场。
可以跳过第 1 次和第 3 次休息时间，共用 ((7/2 + 0) + (3/2 + 0)) + ((5/2 + 0) + (5/2)) = 10 小时抵达会议现场。

示例3

输入：dist = [7,3,5,5], speed = 1, hoursBefore = 10
输出：-1
解释：即使跳过所有的休息时间，也无法准时参加会议。

提示

• $n==dist.length$
• $1<=n<=1000$
• $1<=dist[i]<=10^5$
• $1<=speed<=10^6$
• $1<=hoursBefore<=10^7$

题解

方法一：动态规划

思路与算法

我们用 $f[i][j]$ 表示经过了 $dist[0]$ 到 $dist[i-1]$ 的 $i$ 段道路，并且跳过了$j$次的最短用时。

在进行状态转移时，我们考虑最后一段道路 $dist[i-1]$ 是否选择跳过：

• 如果没有跳过，那么状态转移方程为：
  $f[i][j]=\lceil f[i-1][j]+\frac{dist[i-1]}{speed}\rceil$
  其中 $\lceil x\rceil$ 表示将 $x$ 向上取整。对于最后一段道路，我们无需等待到下一个整数小时，但由于题目中给定的 $\text{hoursBefore}$是一个整数，因此在状态转移方程中向上取整是不会影响结果的。
• 如果跳过，那么状态转移方程为：
  $f[i][j]=f[i-1][j-1]+\frac{dist[i-1]}{speed}$

由于我们到达的时间尽可能早，因此需要选择这两种转移中的较小值，即：
f [ i ] [ j ] = m i n { ⌈ f [ i − 1 ] [ j ] + d i s t [ i − 1 ] s p e e d ⌉ , f [ i − 1 ] [ j − 1 ] + d i s t [ i − 1 ] s p e e d } f[i][j]=min\{\lceil f[i-1][j]+\frac{dist[i-1]}{speed} \rceil,f[i-1][j-1]+\frac{dist[i-1]}{speed}\} f[i][j]=min{⌈f[i−1][j]+speeddist[i−1]​⌉,f[i−1][j−1]+speeddist[i−1]​}

需要注意的是，当$j=0$ 时，我们不能通过「跳过」进行转移；当$j=i$ 时，我们不能通过「没有跳过」进行转移；当$j>i$ 时，我们无法在 $i$ 段道路内跳过超过 $i$ 次，对应的状态不合法。

当我们计算完所有状态的值后，我们只需要找到最小的 $j$，使得 $f[n][j]\le \text{hoursBefore}$，这个 $j$ 即为最少需要跳过的次数。如果不存在这样的 $j$，那么返回 $-1$。

动态规划的细节
动态规划的边界条件为 $f[0][0]=0$，表示初始（未走过任何道路）时的时间为 $0$。

由于状态转移方程中的取值为 $min$，因此我们可以将除了 $f[0][0]$ 以外所有的状态置为一个极大值 $\infty$，方便进行转移。

浮点数运算的细节
根据 IEEE 754 标准，浮点数在计算机中存储的精度是有限的，而本题中我们不可避免的会使用「浮点数运算」以及「向上取整」运算，如果强行忽略产生的计算误差，会得到错误的结果。
举一个简单的例子，假设使用的语言中「向上取整」运算的函数为 $\text{ceil}$，下面的运算：$ceil(8.0+1.0/3+1.0/3+1.0/3)$
应当是 $9$，而计算机会给出 $10$。这是因为浮点数误差导致：$8.0+1.0/3+1.0/3+1.0/3$
计算出的结果约为：$9.000000000000002$

向上取整后会得到 $10$，产生了错误的答案。

因此我们引入常量 $\text{eps}$ 表示一个极小值，例如 $10^{-8}$ 。在进行「向上取整」运算前，我们将待取整的浮点数减去 $\text{eps}$再进行取整，就可以避免上述的误差。

同时，我们需要说明 $\text{eps}$不会引入其它的问题。在本题中速度最大为 $10^6$，时间与速度成反比，那么$eps$的粒度只需要高于时间的精度 $10^{-6}$即可，取 $10^{-7}$或 $10^{-8}$都是可行的。

最后在比较 $f[n][j]\le \text{hoursBefore}$ 时，我们也需要将左侧减去 $\text{eps}$ 或将右侧加上 $\text{eps}$，再进行比较。

代码

class Solution:
    def minSkips(self, dist: List[int], speed: int, hoursBefore: int) -> int:
        # 可忽略误差
        EPS = 1e-7
        
        n = len(dist)
        f = [[float("inf")] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
        f[0][0] = 0.
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(i + 1):
                if j != i:
                    f[i][j] = min(f[i][j], ceil(f[i - 1][j] + dist[i - 1] / speed - EPS))
                if j != 0:
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + dist[i - 1] / speed)
        
        for j in range(n + 1):
            if f[n][j] < hoursBefore + EPS:
                return j
        return -1

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$，即为存储所有状态需要的空间。

方法二：动态规划 + 将所有运算变为整数运算

思路与算法

我们可以将数组 $\text{dist}$中的道路长度和$\text{hoursBefore}$都乘以$\text{speed}$。由于方法一的代码中所有除法运算的除数都是 $\text{speed}$，因此这样做可以保证所有的除法运算的结果都是整数，从根本上避免浮点数误差。

但需要注意的是，在题目中我们规定「必须休息并等待，直到下一个整数小时才能开始继续通过下一条道路」，那么当我们将上面的变量都乘以 $\text{speed}$后，规定应当变更为「必须休息并等待，直到下一个 $\text{speed}$的倍数小时才能开始继续通过下一条道路」。其余的逻辑与方法一完全相同。

细节

时间 $x$ 的下一个 $\text{speed}$的倍数小时为：$(\lfloor \frac{x-1}{speed}\rfloor +1)\cdot speed$

其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示将 $x$向下取整。

代码

class Solution:
    def minSkips(self, dist: List[int], speed: int, hoursBefore: int) -> int:
        n = len(dist)
        f = [[float("inf")] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
        f[0][0] = 0
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(i + 1):
                if j != i:
                    f[i][j] = min(f[i][j], ((f[i - 1][j] + dist[i - 1] - 1) // speed + 1) * speed)
                if j != 0:
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + dist[i - 1])
        
        for j in range(n + 1):
            if f[n][j] <= hoursBefore * speed:
                return j
        return -1

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$，即为存储所有状态需要的空间。