算法基础-复杂度分析

复杂度

评估算法性能的两个指标

• 执行时间->时间复杂度
• 内存消耗->空间复杂度

通常在服务端领域我们更关注的是执行时间，这是因为内存消耗可以回收，并且用户不会关心服务端那边执行一个程序用了多少空间。

「时间复杂度」与「空间复杂度」的前面还有一个词，叫「渐进」，它表示的是：算法在输入数据的规模成倍增长的时候，相应的时间消耗多增长了多少。例如数学家高斯计算 1 到 100 的和，如果按照普通加法一个一个加起来来算，计算 1 到 1000000 消耗的时间一般来说会更多，而高斯使用的等差数列前 n 项和公式，就可以保证当问题规模成倍扩大的时候，计算资源的消耗不受太大影响。

int n = 100;
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
    sum += i;
}
System.out.println(sum);

说明：这个算法执行的操作数与输入规模 n 线性相关，n 越大，执行的操作数越多，消耗时间越长。

int n = 100;
int sum = (1 + n) * n / 2;
System.out.println(sum);

说明：这个算法执行的操作数与 n 无关。不论 n 多大，程序的执行的次数都是常数次的。

计算时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度的计算（估算）只有在输入规模特别大的时候才有意义。「输入规模特别大」往往是我们初学的时候不可感知的。大 O 表示法是一种事前估计法，得到一个函数表达式，它表示了：随着输入规模的扩大，程序的执行消耗会扩大的程度。这个程度不是直接从表达式上直接看出来的，需要在一个动态增加的过程中去理解程序的执行消耗会扩大的程度。

在数据规模较小的时候，不同时间复杂度的执行操作数，我们把它们画在同一个直角坐标系中，可以看出它们增长的趋势。

常见的时间复杂度计算规则

1、常数加法系数看做 0

一段程序必须要做的操作（常数次操作）不纳入复杂度的计算。一般而言，常数次操作都不会是造成程序性能瓶颈的原因。

2、对于一个多项式，只保留最高次幂的项，并且乘法系数化简成 1

• 一次遍历，里面不再有循环的操作，时间复杂度是 $O(N)$。也就是说，我们把输入数据里所有的元素看一遍，就可以得到结果。这样的算法称为具有线性复杂度的算法。
• 双重循环，内外层都与输入规模相关的时候，时间复杂度是 $O(N^2)$

3、对数或者是含有对数乘法因子的项，对数底都看作 2

对数级别的时间复杂度，常见且典型的算法是「二分查找」，时间复杂度的表达式为 $O(\log N)$ 。
如果一个算法计算出来的输入规模 NN 与算法执行次数的表达式为 ${\log }_{10}N$，那么根据高中数学学习过的对数换底公式：
$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$$
有$${\log }_{10}N=\frac{{\log }_{2}N}{{\log }_{2}10}=\frac{1}{{\log }_{2}10}{\log }_{2}N$$
常数乘法系数项 $\frac{1}{{\log }_{2}10}$视为1,因此写 $O({\log }_{10}N)$ 等价于 O ( log ⁡ 2 N ) O(\log_{2} N)