进制转换及C语言中进制转换方法

进制转换是计算机科学和数学中的基础操作，主要用于不同数制之间的数值表示转换。以下是常见进制（二进制、八进制、十进制、十六进制）的转换方法及示例：

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一、其他进制 → 十进制

方法：按权展开，逐位相加。
公式：
[ \text{十进制值} = \sum (每一位数值 \times 基数^{\text{位权}}) ]

示例：

1. 二进制 → 十进制
   ( 1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10} )

2. 十六进制 → 十进制
   ( 2A_{16} = 2×16^1 + 10×16^0 = 32 + 10 = 42_{10} )

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二、十进制 → 其他进制

方法：除基取余法（整数部分）或乘基取整法（小数部分），倒序排列余数。

1. 整数部分转换（除基取余）

步骤：

1. 用十进制数除以目标进制基数，记录余数。
2. 将商继续除以基数，直到商为0。
3. 余数倒序排列即为结果。

示例：
将 ( 25_{10} ) 转换为二进制：
[
\begin{align*}
25 ÷ 2 &= 12 \ \text{余} \ 1 \
12 ÷ 2 &= 6 \ \ \ \text{余} \ 0 \
6 ÷ 2 &= 3 \ \ \ \text{余} \ 0 \
3 ÷ 2 &= 1 \ \ \ \text{余} \ 1 \
1 ÷ 2 &= 0 \ \ \ \text{余} \ 1 \
\end{align*}
]
倒序排列余数：( 11001_2 )

2. 小数部分转换（乘基取整）

步骤：

1. 用小数部分乘以目标进制基数，记录整数部分。
2. 取结果的小数部分继续乘以基数，直到小数部分为0或达到精度要求。
3. 整数部分正序排列即为结果。

示例：
将 ( 0.625_{10} ) 转换为二进制：
[
\begin{align*}
0.625 × 2 &= 1.25 \quad \text{取整} \ 1 \
0.25 × 2 &= 0.5 \quad \ \ \text{取整} \ 0 \
0.5 × 2 &= 1.0 \quad \ \ \text{取整} \ 1 \
\end{align*}
]
正序排列整数部分：( 0.101_2 )

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三、非十进制之间的直接转换

1. 二进制 ↔ 八进制/十六进制

• 二进制 → 八进制：每 3位 二进制为一组，转换为1位八进制（不足补零）。
  示例：
  ( 101\ 110_2 ) → ( 5_8 \ 6_8 = 56_8 )

• 二进制 → 十六进制：每 4位 二进制为一组，转换为1位十六进制（不足补零）。
  示例：
  ( 1101\ 0110_2 ) → ( D_{16} \ 6_{16} = D6_{16} )

• 反向转换：将八进制/十六进制每一位展开为3/4位二进制。
  示例：
  ( 3F_{16} = 0011\ 1111_2 )

2. 八进制 ↔ 十六进制

需以二进制或十进制为中间桥梁。
示例：
( 75_8 → 111\ 101_2 → 0011\ 1101_2 → 3D_{16} )

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四、进制表示符号

• 二进制：前缀 0b（如 0b1010）
• 八进制：前缀 0（如 017）
• 十六进制