LightOJ 1341 唯一分解定理

最新推荐文章于 2020-01-09 18:15:58 发布

qq_19275839

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分类专栏：数学文章标签： ACM 惟一分解定理

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本文介绍了一种利用质因数分解计算特定范围内数的因数组合数量的方法。通过将目标数分解为质因数，计算每种质因数的幂次，可以得到因数的总数。考虑到每对因数相乘等于原数的特点，进一步计算有效组合的数量。在给定范围内排除无效组合，最终得到精确的组合数。

思路就是把a分解质因数，对于一个质因数a1^p1,会是a的因数多(p1+1)倍（不选或者选几个，乘法法则）,对于每个因数，都会有另一个因数与他乘在一起结果是a，所以我们求出因数的个数之后除以2即可得出组合的数量，然后对于给的范围，0~b中每有一个因数，组合的数量便会减一。
如果我们需要对N分解质因数，只要把质数表打到N^1/2即可，因为不可能有两个质因数都大于N^1/2。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <cstdlib>
#include <math.h>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N = 1e6+7;
#define INF 0x3f3f3f3f
ll n,m;
ll prime[N];
bool vis[N];

void shai(ll n){
    ll i,j;
    ll m = (ll)sqrt(n);
    for(i = 2; i <= m;i++){
        if(!vis[i]){
            for(j = i*i;j<=n;j+=i){
                vis[j] = 1;
            }
        }
    }
}
ll top;
void insert(){
    ll i;
    top = -1;
    for(i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]){
            top++;
            prime[top] = i;
        }
    }
}

int t,cases;

int main(){
    shai(N-1);
    insert();
    ll i,j;
    scanf("%d",&t);
    while (cases < t)
    {
        cases++;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        if(m > sqrt(n)){
            printf("Case %d: 0\n",cases);
            continue;
        }
        ll tmp = n;
        ll ans = 1;
        for(i=0; i <= top && prime[i]*prime[i] <= tmp;i++){
            if(tmp % prime[i] == 0){
                ll cnt = 0;
                while (tmp % prime[i] == 0)
                {
                    cnt++;
                    tmp/=prime[i];
                }
                ans *= (cnt + 1);
            }
        }

        if(tmp > 1){
            ans *= 2;//最后剩下的一定是个质数，如果剩下的是两个质数的乘积，小的一定会在前面被处理掉
        }

        ans /= 2;//顺便消去25的5这样的因数
        for(i=1;i<m;i++){
            if(n%i == 0){
                ans--;
            }
        }
        printf("Case %d: %lld\n",cases,ans);
    }
    
    return 0;
}