【码道初阶】进阶必看！双重二分查找+边界处理：Leetcode.4寻找两个正序数组的中位数，细节很多的Hard题

问题回顾

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

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步骤一：问题分析与直觉

目标：找到两个有序数组合并后的中位数，要求时间复杂度为O(log(m + n))。

关键观察：

1. 中位数定义：将合并后的数组分为左右两部分，左边所有元素 ≤ 右边所有元素，且左半部分长度与右半部分相等或大1。
2. 分割点性质：若找到分割点使得左半部分的最大值 ≤ 右半部分的最小值，则中位数由这两个值决定。

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步骤二：算法设计

1. 确保较短的数组进行二分查找

• 交换数组，使nums1是较短的数组。这可以优化时间复杂度至O(log(min(m, n)))。

2. 确定分割点

• 定义i为nums1的分割点，j为nums2的分割点，满足：

  i + j = (m + n + 1) / 2
  

• 左半部分包含nums1[0..i-1]和nums2[0..j-1]，右半部分包含nums1[i..m-1]和nums2[j..n-1]。

3. 边界条件处理

• 当i=0时：nums1的左半部分为空 → nums1LeftMax = INT_MIN。
• 当i=m时：nums1的右半部分为空 → nums1RightMin = INT_MAX。
• 当j=0时：nums2的左半部分为空 → nums2LeftMax = INT_MIN。
• 当j=n时：nums2的右半部分为空 → nums2RightMin = INT_MAX。

4. 调整分割点的条件

• 正确分割的条件：

  nums1LeftMax ≤ nums2RightMin 且 nums2LeftMax ≤ nums1RightMin
  

• 条件不满足时的调整：
  • 若nums1LeftMax > nums2RightMin：说明i太大，需减小 → high = i - 1。
  • 若nums2LeftMax > nums1RightMin：说明i太小，需增大 → low = i + 1。

5. 计算中位数

• 总长度为奇数：中位数为左半部分的最大值max(nums1LeftMax, nums2LeftMax)。
• 总长度为偶数：中位数为(max(nums1LeftMax, nums2LeftMax) + min(nums1RightMin, nums2RightMin)) / 2.0。

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步骤三：代码实现与注释

class Solution {
   
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
   
    if(nums1.size()>nums2.size())//这里始终保证nums1是更小的数组 避免接下来数组越界。
    {
   
        return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
    }
    int m = nums1.size(),n = nums2.size(),totalleft = (m+n+1)/2; //左半部分总元素数 数组元素数量为奇数的时候就是中间数
    int low = 0,high=m;
    while(low<=high)
    {
   
        int i =