vijos - P1286座位安排 (DP状态压缩 + 组合数 + python)

最新推荐文章于 2023-02-04 16:53:59 发布

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分类专栏： ACM_动态规划 ACM_数论 ACM_VIJOS

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针对一个特定的考场座位安排问题，通过状态压缩和组合数学的方法，计算合法座位安排方案的期望选择次数。此问题考虑了可能作弊的学生不能相邻坐的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

P1286座位安排

Accepted

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背景

快要期中考试了！老师需要hzy帮他排考试的座位。。。

描述

考场里的座位恰好有n行m列，并且恰好有n*m位考生在这个考场里面考试，也就是说，所有的座位上都有考生。hzy根据学校记载，有k位考生可能作弊，因此hzy不能让他们之中的任何两个人做在相邻的座位上！所谓相邻的座位，即在同一行相邻列或者在同一列的相邻行的座位。hzy准备这样安排座位，首先随机选择一种方案，如果这种方案是合法的，就用这种方案，否则重新选择。你的任务是计算，他得到一个合法方案时，需要的期望选择次数。

格式

输入格式

输入文件为一行，仅包含三个整数n，m和k。

输出格式

如果不存在合法的方案，则输出文件seating.out中应该包含Impossible!，否则输出一个分数p/q，表示期望选择次数(即平均次数)，这里p和q应该是互质的。

样例1

样例输入1[复制]

1 4 3

样例输出1[复制]

Impossible!

样例2

样例输入2[复制]

2 3 2

样例输出2[复制]

15/8

提示

1≤n≤80，1≤m≤80，1≤n*m≤80

0≤k≤20，并且k≤n*m

对于题目状态压缩很明显，然后是对于组合数，组合数是我的弱点，高中知识基本都忘得差不多了

提示一下：C(m,n) = n!/(m! * (n - m)!) -> n*(n-1)*(n-2)....(n-m+1)/m!(这里的k比较小，所以这么转换，如果是n-m比较小则可以转换为：n*(n-1)*(n-2).....*(m+1)/(n-m)!)

如此其他的就是状态压缩的过程了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[80 + 5][20 + 5][1 << 12];
int n, m, k;

LL gcd(LL a,LL b) {
    return b? gcd(b, a % b) : a;
}

bool C(int mm,int s) {
    for(int i = 0; i < 15; i ++) {
        if((s & (1 << i)) && (mm & (1 << i))) return false;
    }
    return true;
}
bool CC(int s) {
    int bits[15] = {0},cnt = 0;
    while(s) {
        bits[cnt ++] = (s & 1);
        s >>= 1;
    }
    for(int i = 1; i < cnt; i ++) {
        if(bits[i] + bits[i - 1] >= 2)return false;
    }
    return true;
}
LL CS(LL c, LL s) {
    LL ret = 1;
    for(int i = 1; i <= s; i ++) ret = ret * (c - i + 1) / i;
    return ret;
}
void CSS(LL nn,LL kk,LL x) {
    LL xi = 1,sh = 1,f;
    for(int i = 1; i <= kk; i ++) xi *= i;
    for(int i = nn - kk + 1; i <= nn; i ++ ) {
        sh *= i;
        f = gcd(sh,xi);
        sh /= f;
        xi /= f;
    }
    xi *= x;
    f = gcd(xi,sh);
    xi /= f;
    sh /= f;
    printf("%I64d/%I64d\n",sh,xi);
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    if(m > n) swap(n, m);
    dp[0][0][0] = 1;//第几行安排了多少人了，以及此时要安装的人数
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= k; j ++) {
            for(int s = 0; s < (1 << m); s ++) {
                if(!CC(s)) continue;
                int bits = 0,ft = s;
                while(ft) {
                    bits += (ft & 1);
                    ft >>= 1;
                }
                for(int ks = 0 ; ks < (1 << m); ks ++) {
                    if(!CC(ks)) continue;
                    if(!C(ks,s)) continue;
                    if(j - bits < 0) continue;
                    dp[i][j][s] += dp[i - 1][j - bits][ks];
                }
            }
        }
    }
    LL ret = 0;
    for(int i = 0; i < (1 << m); i ++) {
        ret += dp[n][k][i];
    }
    if(ret <= 0) {
        printf("Impossible!\n");
    } else {
        CSS(n * m, k, ret);
    }
    return 0;
}

python代码：

代码优化已经完成

数据如下：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-


def gcd(a, b):
    if not b:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)
def bit(x):
    ret = 0
    while x > 0:
        ret += (x & 1)
        x >>= 1
    return ret
def C(n, k):
    ret = 1
    for i in range(1, k + 1): ret = ret * (n - i + 1) / i
    return ret
def Is_Clear(m):
    old = 0
    while m > 0 :
        t = m & 1
        if t == 1 and old == 1:
            return False
        m >>= 1
        old = t
    return True
def Is_Conflict(m, s, n):
    for i in range(n + 1):
        t = 1 << i
        if ((s & t) and (m & t)): return True
    return False

def Get_Result(n, k, x):
    S = 1
    X = 1
    f = 0
    for i in range(1, k + 1): X *= i
    for i in range(n - k + 1, n + 1):
        S *= i
        f = gcd(S, X)
        S /= f
        X /= f
    X *= x
    f = gcd(X, S)
    X /= f
    S /= f
    print '%d/%d' % (S, X)


n, m, k = map(int,raw_input().split())
if n < m:
    t = n
    n = m
    m = t
dp = []

L = []
for i in range(1 << m):
    if Is_Clear(i) : L.append(i)
cnt = len(L)
for i in range(2):
    a = []
    for j in range(k + 1):
        b = []
        for f in range(cnt):
            b.append(0)
        a.append(b)
    dp.append(a)
dp[0][0][0] = 1
index = 0
for i in range(1,n + 1):
    index = not index
    for j in range(k + 1):
        for s in range(cnt):
            dp[index][j][s] = 0
            bits = bit(L[s])
            for olds in range(cnt):
                if Is_Conflict(L[olds], L[s], m): continue
                if j - bits < 0 : continue
                dp[index][j][s] += dp[not index][j - bits][olds]
ret = 0
for i in range(cnt):
    ret += dp[index][k][i]
if ret <= 0 :
    print 'Impossible!'
else:
    Get_Result(n * m, k , ret)