【vijos1286】座位安排

Description

考场里的座位恰好有n行m列，并且恰好有n*m位考生在这个考场里面考试，也就是说，所有的座位上都有考生。hzy根据学校记载，有k位考生可能作弊，因此hzy不能让他们之中的任何两个人做在相邻的座位上！所谓相邻的座位，即在同一行相邻列或者在同一列的相邻行的座位。hzy准备这样安排座位，首先随机选择一种方案，如果这种方案是合法的，就用这种方案，否则重新选择。你的任务是计算，他得到一个合法方案时，需要的期望选择次数。
传送门

Solution

设每次选择合法方案的概率为$p=$合法方案数$/C_{n\times m}^k$。

那么选择的期望次数为：
$\sum_{i=1}^{l}(1-p)^{i-1}\cdot i\cdot p=p\sum_{i=1}^{l}(1-p)^{i-1}\cdot i\ (l\to\infty)$

设$M=\sum_{i=1}^{l}(1-p)^{i-1}\cdot i$，则$(1-p)M=\sum_{i=1}^l(1-p)^i\cdot i$。

那么$(1-p)M-M=-pM=l\cdot (1-p)^l-\sum_{i=0}^l(1-p)^i$
$=l\cdot (1-p)^l-(\dfrac{(1-p)^{l+1}-1}{(1-p)-1})$。

因为$l\to\infty$，所以$-pM=-\dfrac{1}{p}$，$pM=\dfrac{1}{p}$。

当然期望步数也可以不这样算（上面的没懂没有关系）。

我们设期望步数为x，那么我们有方程$x=p+(1-p)(1+x)$，解得$x=\dfrac{1}{p}$。（显然比上面的式子简单多了，要理解也很容易）

所以最终答案就是$C_{n\times m}^k/合法方案数$。

现在我们考虑怎么求这个方案数。

设$f_{i,j,S}$表示第$i$行的作弊学生状态为$S$，共有$j$个作弊学生的方案数，转移显然。

一开始把第一行的$f$初始化一下即可。

这里压缩状态要以小的那个压缩。